В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4… (геометрия)

№

Теорема косинусов: вид треугольника

В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4 и 8 соответственно. Можно ли утверждать, что этот треугольник остроугольный? Подтвердите или опровергните это утверждение.

Решение.

Вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или ...) определяется наибольшим углом. Так как CA > ... > BC, то ... > ∠C > ∠A. Значит, в треугольнике ABC ... является угол ... . Вид угла можно определить по ... его косинуса. Утверждение «треугольник остроугольный» будет верным, если угол B — ..., т. е. cos B ... 0.
По теореме косинусов CA² = AB² + BC² − ..., откуда cos B = (AB² + BC² − CA²) / ... .
Подставим длины сторон: cos B = (7² + ...) / (2 · 7 · ...) = ... . Значит, cos B ... 0, поэтому угол B — ... .
Итак, треугольник ABC — ... (остроугольный / тупоугольный / прямоугольный).

Ответ. Утверждение о том, что треугольник ABC — остроугольный, ... (верно / неверно).

Решение

Вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) определяется наибольшим углом. Так как , то . Значит, в треугольнике наибольшим является угол . Вид угла можно определить по знаку его косинуса. Утверждение «треугольник остроугольный» будет верным, если угол — острый, т. е. .
По теореме косинусов , откуда
Подставим длины сторон:

Значит, , поэтому угол — острый.
Наибольший угол острый, значит, треугольник — остроугольный.

💡 Почему так

Если наибольший угол треугольника острый, то и остальные острые. Знак косинуса показывает вид угла: положительный — острый, нулевой — прямой, отрицательный — тупой.

Ответ

AB; ∠B; B; знаку; острый; >; . ·AB·BC·cos B; ·AB·BC; . ² − ²; ; /; >; острый; . остроугольный. Утверждение верно.

№

Теорема косинусов в параллелограмме

В параллелограмме ABCD диагонали AC = 10 см, BD = 6 см, ∠AOB = 60°. Найдите периметр параллелограмма.

Решение.
По теореме ... для треугольника AOB запишем:
AB² = AO² + ... − 2 ... . Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся ..., то AO = ... см, BO = ... см.
Поэтому AB² = 5² + ... − 2 ... , AB = ... см.

Решение

По теореме косинусов для треугольника :

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому

см,

см.

Чтобы найти , рассмотрим треугольник : , , .

Периметр:

💡 Почему так

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому периметр равен . Угол смежный с углом , а .

Ответ

косинусов; BO²; AO · BO · cos °; пополам; AO = см, BO = см; AB² = + − ···cos ° = ; AB = √ см. AD = см. Периметр равен см.

Помогло?

В треугольнике ABC стороны AB, BC и CA равны 7, 4 и…