В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите угол ABC, если ∠BAC = 30°, а ∠BMC = 45°.
-
Угол BMC внешний для треугольника ABM, поэтому
Значит,. -
Проведём
и (P лежит на продолжении BM за точку M, H лежит на луче MB). Прямоугольные треугольники AMP и CMH равны: , . Значит, . Обозначим эту длину . -
В треугольнике ABP угол
, поэтому
Тогда
-
В прямоугольном треугольнике BHC
значит,. -
.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.
Пусть BM — медиана треугольника ABC,
-
Продлим BM за точку M и отложим
. Диагонали четырёхугольника ABCD делятся точкой M пополам ( , ), поэтому ABCD — параллелограмм. Значит, . -
как накрест лежащие при и секущей BD. -
В треугольнике ABD:
, , тогда
Углы при стороне AB равны (), значит, треугольник ABD равнобедренный и . -
, поэтому , то есть . Что и требовалось доказать.
Удвоение медианы дополняет треугольник до параллелограмма, а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
Медиана BM равна половине стороны AB (той, с которой она образует угол
В треугольнике ABC BC = √10, ∠ABC = 45°, медиана BM равна 2,5. Вычислите площадь треугольника ABC.
-
Продлим BM за точку M,
. Тогда ABDC... точнее, четырёхугольник с вершинами B, C, D, A — параллелограмм, его диагонали BD и AC пересекаются в M и делятся пополам. Следовательно, . -
Пусть
. Тогда и . -
По теореме косинусов для треугольника BCD:
-
Площадь:
Удвоение медианы достраивает треугольник до параллелограмма, это позволяет найти сторону AB по теореме косинусов.
