В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M до точки D на расстояние, равное AM, так, что AM = MD. Докажите, что ABCD - параллелограмм.
Дано: AM — медиана треугольника ABC, значит BM = MC. По условию AM = MD.
- Рассмотрим четырёхугольник ABDC с вершинами в порядке A, B, D, C. Его диагонали — AD и BC. Они пересекаются в точке M (точка M лежит на AD и на BC).
- M — середина BC, так как AM — медиана:
. - M — середина AD, так как
. - Значит, диагонали AD и BC в точке пересечения M делятся пополам.
Четырёхугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник с вершинами A, B, D, C — параллелограмм, то есть ABDC — параллелограмм (в записи условия — «ABCD» с тем же набором вершин, A и D противоположны, B и C противоположны).
Другой способ: треугольники
Признак параллелограмма: если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм. В условии вершины названы «ABCD», но реальный порядок обхода — A, B, D, C: диагонали AD и BC.
Диагонали AD и BC пересекаются в точке M и делятся ею пополам (BM = MC, AM = MD), значит, четырёхугольник — параллелограмм, что и требовалось доказать.
