В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5… (алгебра)

№ Дартс, наименьший балл в зачёте

В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков, и в зачёт идут 4 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. За 5 бросков Петя набрал 64 балла. Какой наименьший балл у него может оказаться в зачёте?

Решение

Текст задания мелкий, я прочитал его так: в зачёте сумма четырёх лучших бросков.

Сумма четырёх лучших = − (худший бросок). Она тем меньше, чем больше худший бросок.

Худший бросок не больше каждого из остальных, поэтому

Значит, сумма четырёх лучших не меньше .

Пример: , , , , . Их сумма равна , худший бросок , в зачёт идут .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Чай и кофе на дне рождения

На день рождения к Васе пришло 28 девушек и 27 юношей. Среди собравшихся 56 человек 28 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 30. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?

Решение

Всего человек: девушек и гостей-юношей плюс сам Вася. Значит, юношей .

Пусть девушек любят чай, юношей любят кофе. По условию

Чай любят человек. Юношей, любящих чай, будет .

Всего юношей , поэтому

Тогда , .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Тройки чисел с чётными произведениями

Найдите количество троек $(a, b, c)$ целых чисел, где $1 \leq a, b, c \leq 5$ и оба числа $ab$ и $b c$ чётны. Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть $(1; 2; 3)$ и $(1; 3; 2)$ считаются различными.

Решение

Случай : чётное. Тогда и чётны при любых и . Для есть варианта ( или ), для и по :

Случай : нечётное (, или , то есть варианта). Тогда и должны быть чётными, по варианта каждое:

Всего: .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Углы треугольника с равными отрезками

На сторонах $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $A C = C P = P Q = QB$ . Известно, что $∠ A C B = 104°$ . Найдите остальные углы треугольника $A B C$ .
$∠ B A C =$
$∠ A B C =$

Решение

Пусть .

, значит, треугольник равнобедренный, . Внешний угол при : .
, значит, треугольник равнобедренный, .
Внешний угол треугольника : .
, значит, .
Сумма углов треугольника :

Тогда .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Скрипачи и виолончелисты в ряду

В оркестре 3 скрипача и 4 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Решение

Важно только, на каких местах из сидят скрипачи. Выбрать места из можно

способами.

Нужное расположение одно: скрипачи на трёх последних местах.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Тройки чисел с условиями

Найдите все тройки действительных чисел $a \geq b \geq c$ такие, что

a + b + c = 306

a^{2} + b^{2} + c = b^{2} + c^{2} + a = c^{2} + a^{2} + b .

Решение

Из равенства первых двух выражений:

Из равенства второго и третьего:

Случай : . Тогда , и , . Получаем .

Случай : , то есть .

Если , то , , . Порядок верный. Получаем .
Если , то . Из суммы получаем , , но тогда , что противоречит условию.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Спички в клетчатом прямоугольнике

Вася выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника, сторона клетки — одна спичка. Например, для прямоугольника $2 \times 3$ потребуется 17 спичек. Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 87 спичек? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Прямоугольники $a \times b$ и $b \times a$ считайте одинаковыми, в ответ запишите тот, в котором $a \leq b$ . Формат ответа: «число + русская буква х + число без пробелов». Например, 2х3.

Решение

Начало условия закрыто пальцем, я восстановил его по примеру: для нужно спичек.

В прямоугольнике горизонтальных спичек , вертикальных . Всего

Проверка на примере: .

Умножим уравнение на и прибавим :

Так как и , множители . Разложения числа :

: , ;
: , .

Разложение даёт , оно не подходит.

Проверка: и .

Ответ

✓ dzmen.ru

х; х

Помогло?

В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков, и в зачёт…