В параллелограмме ABCD точки E и F принадлежат… (геометрия)

№ Параллельность прямой и плоскости

В параллелограмме $A B C D$ точки $E$ и $F$ принадлежат сторонам $A B$ и $C D$ , причем $B E : E A = C F : F D$ . Через эти точки проведена плоскость $α$ . Докажите, что $B C ∥ α$ .

Решение

Плоскость проходит через и , значит, прямая лежит в . Параллелограмм лежит в своей плоскости, с ней не совпадает (иначе утверждение не имеет смысла), поэтому пересекает плоскость параллелограмма по прямой .

Из получаем . Тогда , то есть .
В параллелограмме , поэтому . Тогда .
, то есть , и . Значит, — четырёхугольник с двумя равными параллельными сторонами, то есть параллелограмм.
Следовательно, .
Прямая лежит в плоскости , а в ней не лежит (иначе совпала бы с плоскостью параллелограмма). По признаку параллельности прямой и плоскости: .

💡 Почему так

Признак: если прямая вне плоскости параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: , , поэтому .

№ Свойство прямой, параллельной плоскости

Прямая $a$ параллельна плоскости $α$ . Через прямую $a$ проведена плоскость $β$ , пересекающая плоскость $α$ по прямой $b$ . В плоскости $α$ существует прямая $c$ , которая параллельна $a$ . Докажите, что $b ∥ c$ .

Решение

Прямая , поэтому не пересекает , а значит, не пересекает и прямую , лежащую в .
Прямые и лежат в одной плоскости и не пересекаются, следовательно, .
По условию .
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: из и следует .

Прямые и обе лежат в плоскости , поэтому они либо параллельны, либо совпадают. Это согласуется с выводом: (или совпадает с ).

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Параллельность прямых транзитивна.

Ответ

✓ dzmen.ru

Доказано: и , поэтому .

Помогло?

В параллелограмме ABCD точки E и F принадлежат сторонам AB и CD,…