Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC, и… (геометрия)

№

Прямая, перпендикулярная плоскости

Прямая $O A$ перпендикулярна к плоскости $O B C$ , и точка $O$ является серединой отрезка $A D$ . Докажите, что: а) $A B = D B$ ; б) $A B = A C$ , если $O B = O C$ ; в) $O B = O C$ , если $A B = A C$ .

Решение

Так как плоскости , то перпендикулярна любой прямой этой плоскости: и . Значит, треугольники , , прямоугольные.

а) В треугольниках и : (по условию), — общий катет, углы при прямые. Треугольники равны по двум катетам, поэтому .

б) В треугольниках и : — общий катет, по условию. Треугольники равны по двум катетам, поэтому .

в) По теореме Пифагора:

Так как , то , то есть .

💡 Почему так

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, поэтому получаются прямоугольные треугольники.

Ответ

Доказано: а) ; б) ; в) .

№

Расстояние до вершин квадрата

Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $a$ , проведена прямая $O K$ , перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $K$ до вершин квадрата, если $O K = b$ .

Решение

Диагональ квадрата равна , диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому

Так как плоскости квадрата, то , и треугольник прямоугольный. По теореме Пифагора:

Для вершин , , получаем то же самое, так как .

Ответ

№

Перпендикуляр к плоскости треугольника

В треугольнике $A B C$ дано: $∠ C = 90°$ , $A C = 6$ см, $B C = 8$ см, $C M$ — медиана. Через вершину $C$ проведена прямая $C K$ , перпендикулярная к плоскости треугольника $A B C$ , причем $C K = 12$ см. Найдите $K M$ .

Решение

В прямоугольном треугольнике :

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: см.

Так как плоскости , то , и треугольник прямоугольный:

Ответ

см

№

Расстояния от точек до вершин правильного треугольника

Прямая $C D$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $A B C$ . Через центр $O$ этого треугольника проведена прямая $O K$ , параллельная прямой $C D$ . Известно, что $A B = 163$ см, $O K = 12$ см, $C D = 16$ см. Найдите расстояния от точек $D$ и $K$ до вершин $A$ и $B$ треугольника.

Решение

В тексте после знак равенства не виден: считаем см.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Так как , то плоскости , значит и . Тогда

Так как плоскости , то и , причём см:

Ответ

см; см

№

Две плоскости, перпендикулярные прямой

Докажите, что если две плоскости $α$ и $β$ перпендикулярны к прямой $a$ , то они параллельны.

Решение

Проведём прямую, параллельную прямой , так, чтобы она пересекла плоскости и в различных точках и . По первой теореме п. (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна ей) прямая перпендикулярна плоскостям и .

Допустим, что и не параллельны. Тогда у них есть хотя бы одна общая точка . Получаем треугольник , в котором и , то есть два прямых угла при вершинах и . Это невозможно, так как сумма углов треугольника равна .

Значит, .

Ответ

Доказано: .

№

Перпендикуляры к плоскости и параллельная прямая

Прямая $P Q$ параллельна плоскости $α$ . Через точки $P$ и $Q$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $α$ , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$ . Докажите, что $P Q = P_{1} Q_{1}$ .

Решение

Прямые и перпендикулярны плоскости , поэтому . Значит, они лежат в одной плоскости , и как расстояния от точек параллельной плоскости прямой до плоскости .

Плоскость пересекает по прямой . Так как и лежит в , то .

В четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны: и . Значит, это параллелограмм, и .

Ответ

Доказано: .

№

Перпендикуляры к плоскости, длина проекции

Через точки $P$ и $Q$ прямой $P Q$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $α$ и пересекающие ее соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$ . Найдите $P_{1} Q_{1}$ , если $P Q = 15$ см, $P P_{1} = 21, 5$ см, $Q Q_{1} = 33, 5$ см.

Решение

, так как обе прямые перпендикулярны плоскости . Значит, — прямоугольная трапеция с основаниями и .

Проведём . Тогда — прямоугольник, поэтому и см.

Из прямоугольного треугольника :

Ответ

см

№

Вид треугольника MBD

Прямая $M B$ перпендикулярна к сторонам $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ . Определите вид треугольника $M B D$ , где $D$ — произвольная точка прямой $A C$ .

Решение

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , поэтому плоскости .

Точка лежит на прямой , значит прямая лежит в плоскости . Тогда , то есть .

Ответ

Треугольник прямоугольный (с прямым углом при вершине ).

№

Теорема о трёх перпендикулярах

В треугольнике $A B C$ сумма углов $A$ и $B$ равна $90°$ . Прямая $B D$ перпендикулярна к плоскости $A B C$ . Докажите, что $C D ⊥ A C$ .

Решение

Так как , то

Так как плоскости , то .

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , поэтому плоскости . Прямая лежит в этой плоскости, значит .

Ответ

Доказано: .

№

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая $O M$ так, что $M A = M C$ , $M B = M D$ . Докажите, что прямая $O M$ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому и .

В треугольнике : , значит он равнобедренный, и — медиана, а потому и высота: .

В треугольнике : , , значит .

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости параллелограмма, поэтому плоскости .

Ответ

Доказано: плоскости .

№

Перпендикулярность в квадрате и пространстве

Прямая $A M$ перпендикулярна к плоскости квадрата $A B C D$ , диагонали которого пересекаются в точке $O$ . Докажите, что: а) прямая $B D$ перпендикулярна к плоскости $A M O$ ; б) $M O ⊥ B D$ .

Решение

а) Диагонали квадрата перпендикулярны: . Так как плоскости , то .

Прямые и пересекаются в точке и лежат в плоскости (точка лежит на ). Прямая перпендикулярна им обеим, поэтому плоскости .

б) Прямая лежит в плоскости , а перпендикулярна этой плоскости, значит .

Ответ

Доказано: а) ; б) .

№

Расстояния от точки до вершин и диагоналей квадрата

Через вершину $B$ квадрата $A B C D$ проведена прямая $B M$ . Известно, что $∠ M B A = ∠ M B C = 90°$ ; $M B = m$ , $A B = n$ . Найдите расстояния от точки $M$ до: а) вершин квадрата; б) прямых $A C$ и $B D$ .

Решение

Так как и , то плоскости .

а) .

Из прямоугольных треугольников и :

Диагональ квадрата . Из прямоугольного треугольника :

б) Расстояние до прямой : , значит оно равно .

Расстояние до прямой : пусть — центр квадрата, и . По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому

Ответ

а) ; ; .
б) до : ; до : .

Помогло?

Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC, и точка O является серединой отрезка…