Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF… (геометрия)

№ (вариант )Перпендикуляр к плоскости квадрата

⚠️

Вариант , № обрезан внизу фото, поэтому его условие не видно и он не решён. В № варианта в вопросе написано «от точки А», хотя точки A на рисунке нет, поэтому я считал расстояние от точки K до вершин квадрата. Чтобы решить остальное, сфотографируйте нижнюю часть листа ближе и крупнее.

Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины C, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см.

Решение

Так как , то , и треугольник прямоугольный с прямым углом .

💡 Почему так

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, поэтому можно применить теорему Пифагора.

Ответ

см

№ (вариант )Теорема о трёх перпендикулярах, прямоугольник

Дан прямоугольник ABCD. Через вершину B проведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=5 см, MD=8 см.

Решение

, значит — проекция наклонной на плоскость.

, так как ABCD — прямоугольник. По теореме о трёх перпендикулярах .

Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом :

💡 Почему так

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной.

Ответ

см

№ (вариант )Расстояние от точки над центром квадрата до вершин

Через точку O пересечения диагоналей квадрата со стороной 5 см проведена прямая OK=6 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки A до вершины квадрата

Решение

В условии, скорее всего, имеется в виду точка K. Найдём расстояние от K до вершин квадрата.

Диагональ квадрата равна , поэтому

, значит треугольник прямоугольный:

Точка O одинаково удалена от всех вершин, поэтому .

💡 Почему так

Равные проекции наклонных дают равные наклонные.

Ответ

Расстояние от K до каждой вершины равно см

№ (вариант )Перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника

Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC, AB=AC=5, BC=6, AD=12, AE — высота треугольника ABC. Найдите AE, DE, BD, DC.

Решение

В равнобедренном треугольнике высота AE является и медианой, поэтому .

, поэтому треугольники , , прямоугольные с прямым углом :

💡 Почему так

Прямая AD перпендикулярна плоскости, поэтому она перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через A.

Ответ

см; ; ;

№ (вариант )Перпендикуляр к плоскости квадрата

Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины A, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см.

Решение

, значит и треугольник прямоугольный:

💡 Почему так

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, поэтому применяем теорему Пифагора.

Ответ

см

Помогло?

Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его…