Задание
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 132°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Углы AOD и BOC вертикальные, поэтому
Треугольник OBC равнобедренный (
Вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=50° и ∠OAB=35°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Треугольник OAB равнобедренный (
Тогда
Треугольник OBC равнобедренный (
Радиусы одной окружности равны, поэтому треугольники с вершиной в центре равнобедренные, а углы при их основаниях равны.
Прямая касается окружности в точке K. Центр окружности — точка O. Хорда KM образует с касательной угол, равный 40°. Найдите величину угла KOM. Ответ дайте в градусах.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит
Треугольник OKM равнобедренный (
Угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду:
Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 8.
Пусть T — точка касания. Центр окружности лежит на биссектрисе угла A, поэтому
Радиус OT перпендикулярен касательной, значит треугольник OAT прямоугольный с прямым углом T. Катет, лежащий против угла
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе; радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
