В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ в грани BCC₁B₁ на рёбрах BB₁… (геометрия)

№ Пересечение прямой KL с прямой BC в кубе

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ в грани $B C C_{1} B_{1}$ на рёбрах $B B_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно такие, что $B K : K B_{1} = 1 : 2$ , $B_{1} L : L C_{1} = 1 : 2$ .

Постройте пересечение прямой $K L$ с прямой $B C$ .
Найдите пару подобных треугольников на рисунке.
Вычислите отношение $B P : P C$ , где $P$ — точка пересечения $K L$ и $B C$ .

Решение

. Построение. Точки и лежат в плоскости грани , и прямая лежит в той же плоскости. Поэтому прямые и пересекаются. Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с продолжением за точку . Получаем точку .

. Подобные треугольники. , значит . Треугольники и подобны: углы при вертикальные, а .

. Отношение. Пусть ребро куба равно . Тогда , , .

Из подобия :

💡 Почему так

Две прямые в одной плоскости, не параллельные друг другу, пересекаются. Параллельные стороны дают пару подобных треугольников с вертикальными углами.

Ответ

Точка — пересечение с продолжением за . Подобны и . .

№ Пересечение прямой ML с прямой AB в кубе

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ на продолжении ребра $A A_{1}$ за точку $A_{1}$ выбрана точка $M$ , а на ребре $A_{1} B_{1}$ — точка $L$ , таким образом, что $B_{1} L : L A_{1} = 1 : 2$ и $A_{1} M : A A_{1} = 1 : 1$ .

Пусть прямая $M L$ пересекается с прямой $A B$ в точке $P$ .
Найдите пару подобных треугольников в получившемся рисунке.
Вычислите отношение $B P : A B$ .

Решение

. Точки , , , лежат в плоскости грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с продолжением за точку . Получаем точку .

. , так как . Треугольники и подобны: угол при общий, а .

. Пусть ребро куба равно . ТогVа , , .

Из подобия :

💡 Почему так

Параллельные прямые и отсекают от угла с вершиной подобные треугольники.

Ответ

Подобны и . .

№ Построение сечения плоскостью KLM

На рёбрах многогранника отмечены точки $K$ , $L$ и $M$ . Постройте сечение этого многогранника плоскостью $(K L M)$ . Назовите по одной паре подобных треугольников в стандартном положении в гранях, где есть след сечения.
г) куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : $K$ на ребре $A A_{1}$ , $L$ на ребре $D_{1} C_{1}$ , $M$ на ребре $B B_{1}$ .
е) параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : $K$ на ребре $A D$ , $L$ на ребре $D_{1} C_{1}$ , $M$ на ребре $C C_{1}$ .

Решение

г)

Построение:

и лежат в грани . Проводим и продолжаем её до пересечения с прямой в точке .
и лежат в плоскости верхней грани. Прямая пересекает ребро в точке и прямую в точке .
и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем последовательно . Сечение — пятиугольник .

Подобные треугольники:

грань : ();
верхняя грань: ();
грань : ().

е)

Построение:

и лежат в грани . Проводим и продолжаем её до пересечения с прямой в точке .
и лежат в плоскости основания. Прямая пересекает ребро в точке .
Плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, поэтому в верхней грани через проводим прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем . Сечение — пятиугольник .

Подобные треугольники:

основание: ();
грань : ();
грань : прямая пересекает прямую в точке , и ().

💡 Почему так

Две точки сечения в одной грани соединяем отрезком. Если у прямой нет двух точек сечения в одной грани, находим точку её пересечения с продолжением ребра, лежащую в плоскости грани. Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

Ответ

г) Сечение — пятиугольник , где , . Пары подобных треугольников: , , .
е) Сечение — пятиугольник , где , . Пары подобных треугольников: , , .

Помогло?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ в грани BCC₁B₁ на рёбрах BB₁ и B₁C₁ выбраны…