Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC… (геометрия)

№

Взаимное расположение прямых в пространстве

Точка $M$ не лежит в плоскости треугольника $A B C$ , точки $E$ , $F$ , $H$ — середины отрезков $M A$ , $M B$ , $M C$ соответственно. Пользуясь рисунком, определите взаимное расположение прямых: пересекаются — укажите в какой точке, параллельны, скрещиваются.

$A M \cap M B = M$ ;
$M C$ ... $B M$ ;
$A B$ скрещивается с $M C$ ;
$E F ∥ A B$ ;
$F H$ ... $E F$ ;
$B C$ ... $A M$ ;
$E H$ ... $A C$ ;
$A C$ ... $M B$ ;
$E F$ ... $M C$ ;
$E H$ ... $B M$ ;
$E H$ ... $M C$ ;
$B C$ ... $F H$ ;
$B F$ ... $M C$ ;
$H C$ ... $A M$ ;
$M H$ ... $A B$ ;
$M E$ ... $A B$ ;
$A E$ ... $B C$ ;
$C H$ ... $A B$ ;
$B F$ ... $A C$ ;
$A E$ ... $F B$ ;
$B H$ ... $M C$ ;
$B H$ ... $F M$ ;
$B H$ ... $A C$ ;
$A F$ ... $A H$ ;
$A H$ ... $B C$ ;
$C E$ ... $M A$ ;
$B E$ ... $C F$ ;
$B F$ ... $H E$

Решение

Прямые , , — средние линии граней, поэтому , , . Прямые , , — рёбра, выходящие из .

Используем признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

и имеют общую точку .
и лежат в плоскости и имеют общую точку .
лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
— средняя линия треугольника , значит .
лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
и лежат в плоскости , — пересекаются в точке .
— средняя линия треугольника , значит .
лежит на прямой , пересекающей в точке .
— это прямая , она пересекает в точке .
— это прямая , которая скрещивается с (как в п. ).
— это прямая , она пересекает в точке .
— это прямая , она скрещивается с (как в п. ).
— это прямая , она скрещивается с .
— это прямая , она скрещивается с (как в п. ).
и — это прямые и , они пересекаются в точке .
и лежат в плоскости , — пересекаются в точке .
— это прямая , она пересекает в точке .
пересекает плоскость в точке — скрещиваются.
и имеют общую точку .
пересекает плоскость в точке — скрещиваются.
и — пересекаются в точке .
лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
лежит в плоскости , (прямая ) пересекает её в точке — скрещиваются.

💡 Почему так

Две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются. Скрещивание проверяют по признаку: одна прямая лежит в плоскости, другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой. Средняя линия треугольника параллельна его основанию.

Ответ

и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются
и скрещиваются

Помогло?

Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC, точки E, F, H…