Решите уравнения: а) x-2-2x+1+2x+5=3; б)… (алгебра)

№ Решение уравнений с модулями и высших степеней

Решите уравнения:
а) $∣ x - 2∣ - 2∣ x + 1∣ + ∣2 x + 5∣ = 3$ ;
б) $(x^{2} - x + 1) (x^{2} - x - 7) = 65$ ;
в) $x^{3} + x^{2} - 7 x + 5 = 0$ .

Решение

а) Нули выражений под модулями: , , . Рассмотрим четыре промежутка.

: , то есть , . Это значение подходит.
: , то есть , . Это значение подходит.
: , то есть , . Это значение не входит в промежуток, не подходит.
: , то есть , . Это значение подходит.

б) Пусть . Тогда

Если : , откуда или .
Если : , , корней нет.

в) Подбором: — корень, так как . Делим на :

, , .

💡 Почему так

Уравнения с модулями решают по промежуткам между нулями подмодульных выражений. Повторяющееся выражение заменяют новой переменной. У кубического уравнения с целыми коэффициентами сначала подбирают целый корень среди делителей свободного члена.

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)
в)

№ Деление многочленов

Выполнить деление многочлена $x^{4} + 3 x^{3} - 21 x^{2} - 43 x + 60$ на многочлен $x^{2} + 2 x - 3$ .

Решение

. Вычитаем . Остаток: .
. Вычитаем . Остаток: .
. Вычитаем . Остаток: .

Делится нацело.

Ответ

✓ dzmen.ru

Частное , остаток .

№ Теорема Безу

Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена $x^{4} + x^{3} + 7 x^{2} + x + 3$ на двучлен $x - 1$ .

Решение

По теореме Безу остаток равен значению многочлена при :

💡 Почему так

Остаток от деления на равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Рациональное неравенство

Решите неравенство: $\frac{( x ^{2} - x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 1 )}{x ^{2} - 6 x + 9} \leq 0$

Решение

Разложим на множители: , .

Неравенство принимает вид

Множители и неотрицательны, поэтому знак дроби задаёт . Точка обращает числитель в нуль, поэтому является решением.

Решаем : . Добавляем (при знаменатель равен нулю, она не входит в решение).

💡 Почему так

Чётные степени множителей не меняют знак дроби, но их нули нужно учитывать отдельно: нули числителя входят в ответ, нули знаменателя — нет.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Уравнения высших степеней

Решите уравнение:
а) $x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 4 = 0$
б) $3 x^{3} - 10 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Решение

а) Подбором: : ; : . Значит, многочлен делится на :

Откуда , или , то есть .

б) Подбором: : . Делим на :

, , , то есть или .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)

Помогло?

Решите уравнения: а) x-2-2x+1+2x+5=3; б) (x²-x+1)(x²-x-7)=65; в) x³+x²-7x+5=0.