Решите неравенства: • x+6 ≤ x²-6x+6 •… (алгебра)

Решение неравенств с модулем, дробно-рациональных и иррационального

Решите неравенства:
• $∣ x + 6∣ \leq x^{2} - 6 x + 6$
• $\frac{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{4}}{x - 3} < 0$
• $\frac{x ^{2} - 10 x + 25}{x ^{2} - 4 x - 12} \geq 0$
• $2 - 3 x \cdot (x^{2} + x - 12) \geq 0$

Решение

) Раскрываем модуль.

Если : , то есть , , откуда или . С учётом получаем .

Если : , то есть . Здесь и ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство верно при всех . Значит, подходит .

Объединяем: .

) Множитель при всех , и он равен нулю только при . Но неравенство строгое, поэтому не подходит. При делим на :

Корень числителя , корень знаменателя . Метод интервалов даёт . Исключаем : .

) Числитель: .

Знаменатель: .

Числитель равен нулю при . Это решение, так как знаменатель при не равен нулю ().

При числитель положителен, значит, нужно , то есть или .

Объединяем: .

) ОДЗ: , то есть .

Произведение неотрицательно в двух случаях.

а) , то есть . Это решение.

б) , то есть , и . Тогда , откуда или . С учётом получаем .

Объединяем: .

💡 Почему так

Модуль раскрывают по знаку подмодульного выражения. В дробных неравенствах чётная степень множителя не меняет знак, но даёт корень, который учитывают отдельно. В неравенстве с корнем обязательно учитывают ОДЗ и случай, когда корень равен нулю.

Ответ

Помогло?

Решите неравенства: • x+6 ≤ x²-6x+6 • (x+2)(x-2)⁴x-3 < 0 • x²-10x+25x²-4x-12…