Решить уравнение: а) 114x-3 = 118x; б) 4x+2 + 6 ·… (алгебра)

№ Показательные уравнения

Решить уравнение:
а) $1 1^{4 x - 3} = 1 1^{8 x}$ ;
б) $4^{x + 2} + 6 \cdot 4^{x - 1} = 70$ .

Решение

а) Основания равны, значит равны показатели:

б) Вынесем за скобку , учитывая :

💡 Почему так

Показательное уравнение с одинаковыми основаниями сводится к равенству показателей. Во втором уравнении удобно вынести общую степень с наименьшим показателем.

Ответ

а)
б)

№ Показательное неравенство

Решить неравенство:
$7^{2 x + 1} - 8 \cdot 7^{x} + 1 < 0$ .

Решение

Запишем . Пусть , :

Корни:

, то есть

Основание больше , знак сохраняется:

💡 Почему так

Заменой неравенство становится квадратным. Так как , функция возрастает и знаки неравенства при переходе к показателям не меняются.

Ответ

№ Логарифмическое неравенство

Решите неравенство:
$lo g_{4} (x - 2) + lo g_{4} (x - 8) < 2$ .

Решение

ОДЗ: и , то есть .
Сложим логарифмы:

Основание больше :

С учётом ОДЗ

💡 Почему так

Сумму логарифмов с одинаковым основанием заменяют логарифмом произведения, а решение пересекают с областью допустимых значений.

Ответ

№ Логарифмические уравнения

Решите уравнение:
а) $lo g_{5} (2 x - 1) = 2$ ; б) $lo g_{2} (x - 2) + lo g_{2} x = 3$ .

Решение

а) ОДЗ: .

б) ОДЗ: .

Корень

не входит в ОДЗ (

), остаётся

💡 Почему так

Логарифмическое уравнение решают по определению логарифма, затем проверяют корни по ОДЗ.

Ответ

а)
б)

№ Площадь боковой поверхности призмы

Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань – квадрат.

Решение

Гипотенуза основания:

Наибольшая боковая грань — прямоугольник со стороной, равной гипотенузе см. Она квадрат, поэтому высота призмы

см.
Периметр основания:

💡 Почему так

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту. Наибольшая боковая грань построена на наибольшей стороне основания.

Ответ

см²

№ Правильная четырёхугольная пирамида

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол $4 5^{\circ}$ .
а) Найдите высоту пирамиды;
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

а) — высота, — половина диагонали основания. В прямоугольном треугольнике угол , :

б) Треугольник равнобедренный: , диагональ основания . Сторона квадрата:

Боковая грань — равносторонний треугольник со стороной (так как боковое ребро тоже ). Апофема:

💡 Почему так

Угол между ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на основание, то есть половиной диагонали. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна сумме площадей четырёх равных граней.

Ответ

а) см
б) см²

Помогло?

Решить уравнение: а) 114x-3 = 118x; б) 4x+2 + 6 · 4x-1…