Решите неравенство - 14x²+5x-14≤ 0. (алгебра)

№

Дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство $- \frac{14}{x ^{2} + 5 x - 14} \leq 0$ .

Решение

Умножим обе части на и сменим знак неравенства:

Числитель , значит, знаменатель должен быть положительным. Равным нулю он быть не может.

Корни: , . Разложим на множители:

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: или .

Ответ

№

Задача на работу

Первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение

Пусть второй рабочий делает деталей в час, тогда первый делает деталей в час.

Время работы второго: ч, первого: ч. Разница во времени часа:

Умножим обе части на :

Второй корень не подходит, так как .

Первый рабочий делает деталей в час.

Ответ

деталей в час

№

График функции и число общих точек с прямой

Постройте график функции $y = \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - 4 )}{x ^{2} - x - 2}$ . Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек.

Решение

Разложим знаменатель: . Числитель: .

Область определения: , . После сокращения:

Графиком служит прямая с двумя выколотыми точками: при получаем , при получаем .

	-	-	-	-
	-	-		(выколота)			(выколота)

Точки и на графике выколоты.

Прямая проходит через начало координат. Общих точек с графиком нет в трёх случаях:

Прямая проходит через выколотую точку : , .
Прямая проходит через выколотую точку : , .
Прямая параллельна : .

При остальных уравнение имеет решение , отличное от и , то есть общая точка есть.

Ответ

; ;

№

Высота прямоугольного треугольника

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 74. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение

Второй катет:

Площадь треугольника можно записать двумя способами: . Отсюда

Ответ

№

Доказательство: трапеция прямоугольная

Точка $E$ — середина боковой стороны $A B$ трапеции $A B C D$ , а $E C = E D$ . Докажите, что трапеция $A B C D$ прямоугольная.

Решение

Пусть и — основания, — середина боковой стороны .

и — середины боковых сторон, поэтому — средняя линия трапеции и .
В треугольнике стороны , значит, он равнобедренный. — его медиана, проведённая к основанию , поэтому ещё и высота: .
Так как и , то , то есть . Аналогично , .

Боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит, трапеция прямоугольная. Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: , , трапеция прямоугольная.

№

Четырёхугольник и середина стороны, равноудалённая от вершин

Середина $M$ стороны $A D$ выпуклого четырёхугольника $A B C D$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $B C$ , если $A D = 10$ , а углы $C$ и $D$ четырёхугольника равны соответственно $11 0^{\circ}$ и $6 5^{\circ}$ .

Решение

Так как — середина , то . По условию .

Треугольник равнобедренный (), значит, .
.
Треугольник равнобедренный (), значит, , и .
По теореме Пифагора:

Ответ

Помогло?