Реферат синус косинус тангенс половинного угла

Реферат. Синус, косинус и тангенс половинного угла

. Введение

В тригонометрии часто нужно найти значения функций угла , если известны функции угла . Например, по значению можно найти и . Формулы половинного угла также помогают упрощать выражения и решать уравнения. Они следуют из формул двойного угла.

. Вывод формул для синуса и косинуса

Формула косинуса двойного угла:

Так как , её можно записать в двух видах:

Положим , тогда :

Выразим квадраты:

Извлекая корень, получаем:

. Тангенс половинного угла

По определению , поэтому

Есть также формулы без корня. Умножим числитель и знаменатель на :

Аналогично, умножив на :

В этих двух формулах знак выбирать не нужно.

. Выбор знака

Знак перед корнем определяется четвертью, в которой лежит угол , а не угол .

• Синус положителен в I и II четвертях, отрицателен в III и IV.
• Косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.
• Тангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV.

. Универсальная подстановка

Пусть . Тогда

Так все функции угла выражаются через одну величину . Это удобно при решении уравнений и вычислении интегралов.

. Примеры

Пример . Найти . Угол лежит в I четверти, синус положителен:

Пример . Найти :

Пример . Известно, что и . Тогда лежит в I четверти и

. Применение и заключение

Формулы половинного угла используются для:

• вычисления точных значений функций для углов , , и других;
• понижения степени: , ;
• решения тригонометрических уравнений;
• вычисления интегралов в курсе математического анализа.

Эти формулы следуют из формулы косинуса двойного угла. Главное при их применении — правильно определить знак.

. Список литературы

1. Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала математического анализа, – классы.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, – классы.
3. Колмогоров А. Н. и др. Алгебра и начала анализа, – классы.