Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры… (алгебра)

№ Цифры числа и делимость на

Пусть $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел $ab$ , $b c$ , $c d$ , $d a$ — трёхзначное число $N$ , начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число $N$ может удовлетворять условию задачи?

Решение

Найдём сумму:

Значит, делится на , и .
В этом промежутке на делится только .
Тогда . Это возможно при различных ненулевых цифрах, например .
Так как определяется однозначно, оно же и наибольшее.

💡 Почему так

Сумма равна , поэтому кратно . В промежутке от до такое число одно — .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Траектория центра шестиугольного колеса

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $5 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза: .
Центр правильного шестиугольника находится на расстоянии от каждой вершины. Когда колесо поворачивается вокруг вершины, центр движется по дуге окружности радиуса . Значит, длина траектории равна , где — суммарный угол поворота колеса в радианах.

Перекатывание по стороне длиной . Колесо поворачивается вокруг вершины на ровно раз, а на углу треугольника выполняется отдельный поворот. Всего на сторонах , , получаем

поворотов по :
Поворот в вершине треугольника с углом . Колесо лежит вне треугольника, поэтому свободный угол равен . Угол шестиугольника равен , значит, поворот на этой вершине равен

Сумма по трём вершинам:
Общий поворот:
Длина траектории:

💡 Почему так

Центр отстоит от вершин шестиугольника на , поэтому каждый поворот на угол даёт дугу длиной . Остаётся сложить все углы поворота.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма…