Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁… (геометрия)

№ Сечения параллелепипеда плоскостью, заданной тремя точками

⚠️

Пункты а), б), в), г) закрыты белой заливкой, их условие не видно, поэтому они не решены. Решены пункты д)–о). Чтобы решить закрытые пункты, пришлите фото, где они видны целиком, крупно и без заливки.

Постройте сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
д) центры граней $A B C D$ , $A A_{1} B_{1} B$ , $B B_{1} C_{1} C$ ;
е) середины рёбер $A B$ , $A D$ и $C C_{1}$ ;
ж) середины рёбер $A_{1} B_{1}$ , $C C_{1}$ и вершину $A$ ;
з) середину ребра $C C_{1}$ и точки $K$ , $L$ , лежащие на рёбрах $A_{1} B_{1}$ и $A B$ , если $B K : K A = A_{1} L : L B_{1} = 1 : 2$ ;
и) середину ребра $A_{1} B_{1}$ , вершину $A$ и точку $M$ на ребре $B_{1} C_{1}$ , если $B_{1} M : M C_{1} = 1 : 3$ ;
к) середины рёбер $A D$ , $C D$ и $A_{1} B_{1}$ ;
л) середины рёбер $A B$ , $B C$ и $C C_{1}$ ;
м) вершину $B_{1}$ , центр грани $A B C D$ и середину ребра $A A_{1}$ ;
н) середины рёбер $C D$ , $B C$ , и точку $M$ , лежащую на продолжении ребра $A A_{1}$ за точку $A_{1}$ , если $M A_{1} = \frac{1}{2} A A_{1}$ ;
о) середины рёбер $A D$ , $C C_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ ;

Решение

Во всех чертежах невидимые рёбра , , и невидимые стороны сечения показаны пунктиром. Сечение закрашено.

В пункте з) по отношениям лежит на , а на (в записи условия буквы рёбер переставлены).

Правило. Если две точки лежат в одной грани, их соединяем отрезком. Прямая в плоскости грани, которая пересекает прямую ребра, даёт новую точку сечения. В параллельных гранях стороны сечения параллельны.

д) Центр лежит на диагонали . Центр грани лежит на диагонали . Центр грани лежит на диагонали . Значит, плоскость проходит через вершины , , , и сечение — треугольник .

е) Пусть — середина , — середина , — середина .

Проводим и продлеваем до пересечения с прямыми в точке и в точке . Так как , получаем и .
Прямая в грани пересекает в точке . Из подобия получаем .
Прямая в грани пересекает в точке , .
Сечение — пятиугольник .

ж) Пусть — середина , — середина .

Проводим в грани и продлеваем до пересечения с прямой в точке . Так как , имеем , и лежит за .
Прямая в грани пересекает в точке () и продолжение в точке .
Прямая в основании пересекает в точке ().
Сечение — пятиугольник .

з) Пусть — середина . на с , на с .

Прямая в грани пересекает прямую в точке ниже , причём .
Прямая в грани пересекает в точке ().
В верхней грани через проводим прямую, параллельную (грани и параллельны). Она пересекает в точке ().
Сечение — пятиугольник .

и) Пусть — середина , точка на с .

Отрезки (грань ) и (верхняя грань) проводим сразу.
Плоскость сечения пересекает основание по прямой, проходящей через . Эта прямая параллельна , потому что основания параллельны, и пересекает в точке , (середина ).
Сечение — четырёхугольник .

к) Точки — середины , , .

Проводим среднюю линию основания через середины и . Она параллельна .
В верхней грани через середину проводим прямую, параллельную этой линии. Она проходит через середину .
Остальные вершины — середины и .
Сечение — шестиугольник с вершинами в серединах , , , , , .

л) Точки — середины , , .

Средняя линия основания через середины и параллельна .
В верхней грани через середину проводим прямую, параллельную этой линии. Она проходит через середину .
Последняя вершина — середина .
Сечение — шестиугольник с вершинами в серединах , , , , , .

м) Центр основания — точка пересечения и . Пусть — середина .

Проводим в грани .
Прямая пересекает прямую в точке за (так как , ).
Прямая через центр основания пересекает в точке () и в точке ().
Сечение — четырёхугольник .

н) Пусть лежит на продолжении за , .

Прямая через середины и в основании пересекает прямые и в точках и за и (, ).
Прямая в грани пересекает и в их серединах.
Прямая в грани пересекает и в их серединах.
Сечение — шестиугольник с вершинами в серединах , , , , , .

о) Середины , , лежат в той же плоскости, что и в пункте к). Эта плоскость пересекает в середине, потому что в параллельных гранях стороны сечения параллельны, а — середина стороны в основании. Следовательно, сечение то же: шестиугольник с вершинами в серединах , , , , , .

💡 Почему так

Сечение многогранника плоскостью строят по точкам, которые лежат в одной грани. Если прямая в грани пересекает продолжение ребра, получаем вспомогательную точку для следующей грани. У параллельных граней стороны сечения параллельны.

Ответ

✓ dzmen.ru

д) треугольник
е) пятиугольник (, — середины , ; — середина ; , )
ж) пятиугольник (, )
з) пятиугольник (, )
и) четырёхугольник ( — середина )
к) шестиугольник через середины , , , , ,
л) шестиугольник через середины , , , , ,
м) четырёхугольник (, )
н) шестиугольник через середины , , , , ,
о) тот же шестиугольник, что в пункте к)

Помогло?

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через…