Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью… (геометрия)

№ Сечение куба плоскостью по трём точкам

Постройте сечение куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $P$ , $R$ , $M$ , где $P \in A_{1} B_{1}$ , $R \in A A_{1}$ , $M \in C D$ . (Текста задания на фото нет, это стандартная постановка для таких рисунков.)

Решение

и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в плоскости нижнего основания. Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в грани . Проводим .
Верхнее и нижнее основания параллельны, поэтому в верхнем основании через проводим прямую, параллельную . Она пересекает в точке .
и лежат в плоскости . Прямая пересекает в точке .
Соединяем , , , , , .

Получили шестиугольник .

💡 Почему так

Если две точки лежат в одной грани, соединяем их. Если отрезок не выходит на ребро, продлеваем прямую до пересечения с прямой ребра и находим след плоскости. Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным прямым.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

№ Сечение куба плоскостью по трём точкам

Постройте сечение куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $P$ , $M$ и $R$ , где $P \in C D$ , $M \in B C$ , а $R$ — третья красная точка на ребре $A_{1} B_{1}$ (подпись на фото не видна, обозначаю её $R$ ).

Решение

и лежат в нижнем основании. Проводим и продлеваем до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке . Проводим в грани .
В верхнем основании через проводим прямую, параллельную . Она пересекает в точке .
В грани проводим к точке на : плоскость пересекает ребро в точке (через параллельность и в параллельных гранях и ). Соединяем с .
Последовательно соединяем , , , , , .

Получили шестиугольник .

💡 Почему так

След плоскости на нижнем основании — прямая . Пересечения с параллельными гранями — параллельные отрезки: и .

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

№ Сечение куба плоскостью по трём точкам

Постройте сечение куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $P$ , $R$ , $M$ , где $P \in A_{1} B_{1}$ , $R \in A D$ , $M \in C C_{1}$ .

Решение

Опускаем перпендикуляры: из на (точка ) и из на (точка ). Прямые и лежат в одной плоскости, продлеваем их до пересечения в точке .
и лежат в нижнем основании. Прямая пересекает ребро в точке .
и лежат в грани . Проводим .
Грани и параллельны. Через проводим прямую, параллельную . Она пересекает в точке . Соединяем с в грани .
В верхнем основании через проводим прямую, параллельную . Она пересекает в точке . Соединяем с .
Получили шестиугольник .

💡 Почему так

Точка — след прямой на плоскости нижнего основания. Через неё проходит след секущей плоскости. Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным прямым.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, R, M…