Постройте сечение: через точки M, P, R. (геометрия)

№ Сечение куба через точки на трёх боковых рёбрах

Постройте сечение: через точки $M$ , $P$ , $R$ .

Решение

На фото , , . Положение точек оценено по рисунку, но сам ход построения от него не зависит.

Точки и лежат в грани . Соединяем их, получаем сторону .
Точки и лежат в грани . Соединяем их, получаем сторону (невидимая грань, штрих).
Грани и параллельны. Плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Значит, через проводим прямую до пересечения с ребром в точке .
Соединяем и (грань , штрих). Выполняется , так как грани и параллельны.
Закрашиваем четырёхугольник .

💡 Почему так

Если две параллельные плоскости пересечь третьей, линии пересечения параллельны. Поэтому сечение через точки трёх параллельных рёбер — параллелограмм, и его четвёртая вершина лежит на четвёртом ребре.

Ответ

Сечение — параллелограмм , где лежит на ребре и .

№ Сечение куба — пятиугольник

Постройте сечение: через точки $M$ , $P$ , $R$ .

Решение

На фото (ближе к ), (ближе к ), (ближе к ).

Точки и лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в плоскости основания. Прямая — след секущей плоскости на основании. Она пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем последовательно , , , , . Стороны , и лежат на невидимых гранях (штрих). и видимы.

💡 Почему так

Сторона сечения лежит в грани, если обе её точки принадлежат этой грани. Недостающие точки находят там, где прямые сечения пересекают плоскость основания.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где , .

№ Сечение куба через вершину и две точки

Постройте сечение: через точки $B_{1}$ , $M$ , $R$ .

Решение

На фото (ближе к ), (ближе к ).

Точки и лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в основании. Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем и (грань ).
Грани и параллельны. Через проводим прямую , где .
Соединяем и (грань ).
Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

След секущей плоскости на основании находим по точке пересечения прямой с плоскостью основания и по точке . Параллельные грани пересекаются плоскостью по параллельным отрезкам.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где , .

№ Сечение куба, одна точка — вершина

Постройте сечение: через точки $M$ , $P$ , $R$ .

Решение

На фото (ближе к ), (ближе к ), а точка совпадает с вершиной .

Точки и лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в основании. Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ) и и (грань ). Выполняется , так как эти грани параллельны.
Сечение — четырёхугольник .

💡 Почему так

Прямая в плоскости грани, продолженная до пересечения с плоскостью основания, даёт точку следа. Через неё и вершину проходит след на основании.

Ответ

Сечение — четырёхугольник (трапеция) , где .

№ Сечение куба, точка на продолжении ребра

Постройте сечение: через точки $M$ , $P$ , $R$ .

Решение

На фото , , лежит на продолжении ребра за точку .

Точки и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке и прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в основании. Прямая пересекает ребро в точке .
Плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны. Через проводим , где .
Точки и лежат в плоскости грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем , , , , , . Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Точка на продолжении ребра помогает найти точки пересечения с рёбрами верхней грани. Следы секущей плоскости на параллельных основаниях параллельны.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , , .

№ Сечение куба — шестиугольник

Постройте сечение: через точки $M$ , $P$ , $R$ .

Решение

На фото (ближе к ), (ближе к ), (ближе к ).

Точки и лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке (выше ) и прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке и прямую в точке (за вершиной ).
Точки и лежат в основании. Прямая пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем последовательно , , , , , . Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Каждая сторона сечения лежит в одной из шести граней. Точки, которых нет на рёбрах, находят через пересечение прямых сечения с продолжениями рёбер.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?