Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью… (геометрия)

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $P$ . Точка $M$ лежит на ребре $D D_{1}$ , точка $N$ на ребре $C C_{1}$ , точка $P$ на ребре $B C$ . Показать все вспомогательные прямые и точки.

Решение

Чертёж даёт общий вид, а точное положение точек задано на рисунке в задании.

Построение:

и лежат в одной грани , поэтому проводим . Это сторона сечения в этой грани.
и лежат в одной грани , поэтому проводим . Это сторона сечения в этой грани.
Продолжаем до пересечения с прямой в точке . Точка лежит в плоскости сечения и в плоскости основания , как и точка . Значит, прямая — след сечения на основании.
Прямая пересекает ребро в точке . Проводим — сторона сечения в основании.
и лежат в одной грани , поэтому проводим .

Четырёхугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Сторона сечения строится в грани, если в ней лежат две точки сечения. Если двух точек в грани нет, продолжают прямую до пересечения с линией ребра и получают новую точку на плоскости грани.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где — точка пересечения прямой с ребром , а .

№

Сечение куба плоскостью через три точки

Построить сечение куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $P$ , $N$ . Точка $M$ лежит на ребре $A A_{1}$ , точка $P$ на ребре $A_{1} B_{1}$ , точка $N$ на ребре $B_{1} C_{1}$ . Показать все вспомогательные прямые и точки.

Решение

Построение:

и лежат в грани , поэтому проводим .
и лежат в верхнем основании, поэтому проводим .
Продолжаем до пересечения с прямой в точке и с прямой в точке .
и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке . Проводим .
лежит в грани . Прямая в основании не проводится: она находится в плоскости сечения, поэтому находим след на основании так. Плоскость сечения пересекает грань по прямой, проходящей через . Эта прямая пересекает в точке и в точке .
Соединяем с (грань ), с (грань ), с (основание ).

Шестиугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Если две точки сечения не лежат в одной грани, находят пересечение их прямой с продолжением ребра. Так получают дополнительные точки на гранях, и сечение достраивается по всем граням.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P…