Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его… (геометрия)

Вариант , № Стороны параллелограмма по периметру

⚠️

Задание * в вариантах и обрезано, его условие не видно, поэтому оно не решено. Чтобы решить его, переснимите фото ближе и прокрутите страницу так, чтобы * было видно целиком.

Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

Решение

Смежные стороны и . Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому полупериметр равен сумме смежных сторон:

Другая сторона:

💡 Почему так

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому .

Ответ

см, см, см, см.

Вариант , № Угол между диагоналями прямоугольника

Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4: 5.

Решение

Пусть части угла равны и . Тогда

Значит, диагональ делит угол

на

, и

.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому

и треугольник

равнобедренный. Тогда

Смежный угол:

💡 Почему так

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому образуются равнобедренные треугольники. Углом между пересекающимися прямыми считают меньший из двух углов.

Ответ

(смежный с ним угол ).

Вариант , № Углы параллелограмма

Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Решение

Пусть диагональ является высотой, то есть . Она равна стороне (стороне она равной быть не может: — гипотенуза, она больше катета ).
Треугольник прямоугольный и равнобедренный (), поэтому

Остальные углы параллелограмма:

💡 Почему так

В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по . Соседние углы параллелограмма в сумме дают .

Ответ

, , , .

Вариант , № Трапеция с перпендикулярной диагональю

В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, $∠ A D B = ∠ B D C = 30°$ . Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Решение

Основания трапеции — и . Углы и — накрест лежащие при параллельных и , поэтому . Значит, в треугольнике углы при стороне равны (), и

В прямоугольном треугольнике

угол

равен

, поэтому

.
Угол трапеции

равен

, то есть

. Трапеция равнобедренная, и

.
Пусть

. Тогда

💡 Почему так

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы. Трапеция с равными углами при основании равнобедренная.

Ответ

см.

Вариант , № Стороны параллелограмма по периметру

Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

Решение

Пусть меньшая сторона , тогда другая . Полупериметр равен сумме смежных сторон:

Другая сторона:

💡 Почему так

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому .

Ответ

см, см, см, см.

Вариант , № Угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника

Угол между диагоналями прямоугольника равен $80°$ . Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому . Меньшая сторона лежит против меньшего угла между диагоналями: .
Треугольник равнобедренный, поэтому

💡 Почему так

Меньшая сторона прямоугольника лежит против острого угла между диагоналями. Диагонали равны и делятся пополам, значит, треугольник равнобедренный.

Ответ

Вариант , № Углы параллелограмма

Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.

Решение

Пусть диагональ перпендикулярна стороне , а неперпендикулярная ей сторона равна .
В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы , поэтому катет лежит против угла :

Остальные углы параллелограмма:

💡 Почему так

Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен .

Ответ

, , , .

Вариант , № Трапеция с диагональю-биссектрисой

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, $∠ D = 60°$ .

Решение

В треугольнике угол прямой, поэтому

Так как

— биссектриса,

. Трапеция равнобедренная, и

.
Накрест лежащие углы при

равны:

. Значит,

, и треугольник

равнобедренный:

.
Пусть

, тогда

💡 Почему так

Катет против угла равен половине гипотенузы. Биссектриса вместе с параллельностью оснований даёт равнобедренный треугольник .

Ответ

см.

Помогло?

Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше…