Решён вариант В-
В параллелограмме ABCD диагональ AC является биссектрисой угла A. Найдите сторону BC, если периметр ABCD равен 34.
- AC — биссектриса, поэтому
. , и AC — секущая, значит (накрест лежащие). - Тогда
, треугольник ABC равнобедренный и . - Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому
. , откуда .
Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, поэтому смежные стороны равны.
BC =
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания BC.
- Пусть CH — высота,
, . Большой отрезок равен полусумме оснований, а меньший — полуразности. . , то есть . , откуда . - Проверка:
.
В равнобедренной трапеции высота из вершины тупого угла делит большее основание на отрезки, равные полусумме и полуразности оснований.
BC =
В равнобедренной трапеции высота равна 5, большее основание равно 15, угол при основании равен 45°. Найдите меньшее основание.
- Проведём высоты BK и CH. В прямоугольном треугольнике ABK угол A равен
°, поэтому он равнобедренный и . - Аналогично
. . — прямоугольник, значит .
В прямоугольном треугольнике с острым углом
Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 13, отсекает треугольник, периметр которого 23. Найдите периметр трапеции.
- Пусть прямая CE параллельна AB, E лежит на AD. Тогда
— параллелограмм, значит и . - Периметр треугольника CED:
, то есть . - Периметр трапеции:
Отсечённый треугольник содержит обе боковые стороны трапеции (одну — как равную ей), а основания отличаются на отрезок ED.
