Определите по данным на схемах: - промежутки возрастания функции - промежутки… (алгебра)

№ Промежутки монотонности и экстремумы по знакам производной

Определите по данным на схемах:

промежутки возрастания функции
промежутки убывания функции
точки экстремума (точки минимума и точки максимума)

Схемы (знаки $y'$ на оси $x$ ):

«+», точка 1, «−», точка 4, «+»
«−», точка −6, «+», точка 5, «−»
«+», точка −1, «−», точка 1, «+», точка 5, «−»
«+», точка −1, «−», точка 1, «+», точка 5, «−»
точка 3 ( $x_{\max}$ ), точка 4 ( $x_{\min}$ )
точка 0 ( $x_{\min}$ ), точка 7 ( $x_{\max}$ )

Решение

Где , функция возрастает, где , убывает. Если знак меняется с «+» на «−», это точка максимума, с «−» на «+» — точка минимума.

при и , на . Возрастает на и , убывает на . Знак меняется с «+» на «−» в точке , с «−» на «+» в точке .
Знаки «−», «+», «−». Убывает на и , возрастает на . В точке − смена «−» на «+», в точке смена «+» на «−».
Знаки «+», «−», «+», «−». Возрастает на и , убывает на и . Максимумы в точках − и , минимум в точке .
Схема совпадает со схемой , поэтому результат тот же.
Максимум в точке , минимум в точке . До функция возрастает, между и убывает, после возрастает.
Минимум в точке , максимум в точке . До функция убывает, между и возрастает, после убывает.

💡 Почему так

Точки экстремума — те, в которых производная меняет знак: «+» на «−» даёт максимум, «−» на «+» даёт минимум.

Ответ

возрастает: , ; убывает: ; , .
возрастает: ; убывает: , ; , .
возрастает: , ; убывает: , ; и , .
так же, как в ).
возрастает: , ; убывает: ; , .
возрастает: ; убывает: , ; , .

№ Знак производной и экстремумы по схемам со стрелками

Определите по данным на схемах:

промежутки, на которых производная функции положительна
промежутки, на которых производная функции отрицательна
точки экстремума (точки минимума и точки максимума)

Схемы (стрелки показывают поведение $y$ : вверх — возрастание, вниз — убывание):
5) точки 0 и 3
6) точки −9 и −2
7) точки −4, −1, 0
8) точки −3, 7, 11
11) «+», точка 3, «−», точка 4 (выколота), «−», точка 5, «+»
12) «−», точка −5, «+», точка −3 (выколота), «+», точка 1, «−»
13) точки −1, 0 (выколота), 1
14) точки −5, −4, 0 (выколота)

Решение

Стрелка вверх означает , стрелка вниз означает . Выколотая точка не входит в область определения, поэтому экстремумом не является.

Стрелки: вверх, вниз, вверх. на и , на . , .
Знаки «−», «+», «−». на , на и . , .
Знаки «+», «−», «+», «−». на и , на и . и , .
Знаки «−», «+», «−», «+». на и , на и . и , .
на и , на и . , . В точке знак не меняется и она выколота, значит, это не экстремум.
на и , на и . , . Точка − экстремумом не является.
Знаки «+», «−», «−», «+». на и , на и . , .
Знаки «−», «+», «−», «−». на , на , и . , .

💡 Почему так

Экстремум есть только в тех точках области определения, где производная меняет знак.

Ответ

: , ; : ; max , min .
: ; : , ; min −, max −.
: , ; : , ; max − и , min −.
: , ; : , ; min − и , max .
: , ; : , ; max , min .
: , ; : , ; min −, max .
: , ; : , ; max −, min .
: ; : , , ; min −, max −.

№ Монотонность и экстремумы функций через производную

Определите промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания) функций и найдите точки экстремума:
1295. а) $f(x)=(x-1)^{3}(x+2)^{4}$ ;
1296. а) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}$ ;
1301. а) $f(x)=2x-\ln(x+1)$ ;

Решение

а). Область определения — все числа.

при

.
Знаки: при

имеем «+», на

— «−», на

— «+», при

— «+». В точке множитель

знак не меняет.

а). Область определения: .

при

. Знаки: при

«+», на

«−», на

«−», при

«+».

а). Область определения: .

при

. Знаки: на

«−», при

«+».

💡 Почему так

Функция возрастает там, где , и убывает там, где . Экстремум — точка, в которой меняет знак.

Ответ

а) возрастает на и , убывает на ; , .
а) возрастает на и , убывает на и ; , .
а) убывает на , возрастает на ; .

Помогло?