Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если: а) y =… (алгебра)

№

Построение параболы и свойства функции

Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если:
а) $y = 0{,}25x^{2} - 1{,}5x - 1{,}75$ ;
б) $y = -0{,}5x^{2} - 2x + 2$ .

Решение

а) Ветви параболы направлены вверх, так как .

Абсцисса вершины: .

Ордината вершины: . Вершина , ось симметрии .

Нули функции: . Умножим на : , откуда и .

x	-
y		-,	-	-,	-	-,	-	-,

б) Ветви направлены вниз, так как .

Абсцисса вершины: .

Ордината вершины: . Вершина , ось симметрии .

Нули функции: , то есть , откуда , примерно и .

x	-	-	-	-	-
y	-,		,		,		-,

💡 Почему так

Свойства параболы читаются по графику: вершина задаёт наибольшее или наименьшее значение и точку смены монотонности, нули задают промежутки знакопостоянства.

Ответ

а) Область определения: . Область значений: . Нули: и . при и ; при . Убывает на , возрастает на . Наименьшее значение при , наибольшего нет.
б) Область определения: . Область значений: . Нули: . при ; при и . Возрастает на , убывает на . Наибольшее значение при , наименьшего нет.

№

График квадратичной функции, промежутки знакопостоянства

Постройте график функции:
а) $y = (x - 1)(x - 5)$ ;
Найдите промежутки, в которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Решение

Нули функции: и . Ветви вверх, так как после раскрытия скобок .

Вершина: , .

x
y			-	-	-

По графику парабола выше оси левее и правее , ниже оси между нулями.

Ответ

Положительные значения: и . Отрицательные значения: .

№

Взаимное расположение параболы и прямой

При каких значениях $c$ парабола $y = x^{2} - 8x + c$ расположена выше прямой: а) $y = 8$ ;

Решение

Парабола выше прямой, когда для всех выполняется:

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство верно при всех , если дискриминант отрицателен:

Ответ

№

Нахождение коэффициентов параболы по точкам

График функции $y = x^{2} + px + q$ проходит через точки $A$ и $B$ . Найдите $p$ и $q$ , если:
а) $A(-3; 7)$ и $B(1; 5)$ ;

Решение

Подставим координаты точек в уравнение.

Точка : , откуда .

Приравняем: , , .

Тогда .

Проверка для : , верно.

Ответ

Помогло?