Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше… (геометрия)

№ Стороны параллелограмма

Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Пусть меньшая сторона равна см, тогда другая равна см. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому

Ответ

см и см (две стороны по см, две по см).

№ Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ , $A B = 10$ см, $B D = 12$ см. Найдите периметр треугольника $C O D$ .

Решение

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам:

Противоположные стороны равны:

см.

Ответ

см

№ Углы ромба с диагоналями

Один из углов ромба равен $6 4^{\circ}$ . Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Решение

Пусть . Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому

Диагонали ромба перпендикулярны, значит, в прямоугольном треугольнике

Ответ

Сторона образует с одной диагональю угол , с другой — .

№ Доказательство равенства отрезков

На диагонали $B D$ параллелограмма $A B C D$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $∠ B A M = ∠ D C K$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$ ). Докажите, что $B M = D K$ .

Решение

Рассмотрим треугольники и .

как противоположные стороны параллелограмма.
как накрест лежащие при и секущей .
по условию.

Значит, по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: по второму признаку, поэтому .

№ Биссектриса параллелограмма

Биссектриса угла $D$ параллелограмма $A B C D$ пересекает сторону $B C$ в точке $M$ , $B M : M C = 4 : 3$ . Найдите периметр параллелограмма, если $B C = 28$ см.

Решение

Так как , то как накрест лежащие при секущей . По условию , поэтому . Значит, треугольник равнобедренный и .

Найдём части стороны : на одну часть приходится см, поэтому

Отсюда

см.

💡 Почему так

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Ответ

см

№ Средняя линия в прямоугольном треугольнике

Через середину $K$ гипотенузы $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет $A C$ в точке $D$ , а другая — катет $B C$ в точке $E$ . Найдите отрезок $D E$ , если $A B = 12$ см.

Решение

и — середина , поэтому по теореме Фалеса — середина . Аналогично , значит, — середина .

Тогда — средняя линия треугольника , и она равна половине параллельной ей стороны :

Ответ

см

Помогло?

Одна из сторон параллелограмма в 3 раза меньше другой, а его периметр…