Обозначьте на числовой окружности точку, которая… (алгебра)

№ Точки на числовой окружности

Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу: а) $π$ ; б) $\frac{π}{4}$ ; в) $\frac{4 π}{3}$ ; г) $- \frac{π}{6}$ ; д) $\frac{5 π}{2}$ ; е) $\frac{π}{8}$ .

Решение

Начало отсчёта — точка . Положительные числа откладываем против часовой стрелки, отрицательные — по часовой. Полная окружность равна .

а) — половина окружности, точка (левая точка, ).

б) — середина первой четверти (половина дуги ), точка .

в) — в третьей четверти, от точки ещё на , точка .

г) — от точки по часовой стрелке на (в четвёртой четверти), точка .

д) — полный оборот и ещё четверть, верхняя точка .

е) — половина дуги , точка (первая четверть, чуть выше ).

Ответ

а) ; б) середина первой четверти; в) третья четверть, ; г) четвёртая четверть, ниже точки ; д) ; е) первая четверть, половина дуги .

№ Дуга числовой окружности

По заданному обозначению дуги окружности $[- \frac{π}{3} + 2 π n; \frac{2 π}{3} + 2 π n]$ укажите её геометрическую и аналитическую модели.

Решение

Геометрическая модель: дуга с началом в точке , соответствующей (четвёртая четверть), идущая против часовой стрелки через точку и верхнюю точку до точки , соответствующей (вторая четверть). Концы дуги принадлежат ей. Длина дуги: .

Аналитическая модель — двойное неравенство:

Ответ

Геометрическая модель: дуга от точки до точки против часовой стрелки (длина ). Аналитическая: , .

№ Декартовы координаты точек окружности

Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите её декартовы координаты: а) $\frac{π}{2}$ ; б) $\frac{π}{3}$ ; в) $\frac{3 π}{4}$ ; г) $- \frac{π}{6}$ .

Решение

а) — верхняя точка : .

б) , точка : , .

в) , вторая четверть, точка : , .

г) , четвёртая четверть, точка : , .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г) .

№ Точки с заданной абсциссой

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой $x = \frac{1}{2}$ и запишите, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение

Прямая пересекает окружность в двух точках и . Так как , точка соответствует , а симметричная ей точка — числу . С учётом полных оборотов:

или коротко

Ответ

, .

№ Точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству

Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству $y \geq \frac{1}{2}$ и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам $t$ они соответствуют.

Решение

Прямая пересекает окружность в точках и . Так как , точка соответствует , а — числу . Условию удовлетворяют точки верхней дуги от до (против часовой стрелки), включая концы:

Ответ

Дуга выше прямой ; , .

Помогло?

Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу…