Найти стационарные точки функции: f(x)=x³-x²-x+1 (алгебра)

КР №Стационарные точки функции

⚠️

Не решено: задание из контрольной работы № («Для функции … найдите ту первообразную, график которой …»). Нижний край фото обрезан, условие неполное. Переснимите ближе, чтобы был виден низ страницы.

Найти стационарные точки функции: $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$

Решение

Стационарные точки — это точки, где .

💡 Почему так

Стационарные точки — внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю.

Ответ

КР №Экстремумы функции

Найти экстремумы функции:

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 32 x + 2$
$f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$

Решение

)

Дискриминант отрицательный, поэтому

при всех

. Функция возрастает на всей числовой прямой, и экстремумов у неё нет.

)
Так как , из получаем и .

Знаки : на плюс, на минус, на плюс.

В точке знак меняется с «+» на «−», это максимум:

В точке

знак меняется с «−» на «+», это минимум:

💡 Почему так

Если производная меняет знак с «+» на «−», точка является максимумом, а с «−» на «+» — минимумом.

Ответ

экстремумов нет;
, ; ,

КР №Промежутки монотонности

Найти интервалы возрастания и убывания функции: $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 20$

Решение

Знаки : на минус, на минус, на плюс.

При переходе через знак производной не меняется, поэтому функция убывает на всём промежутке .

💡 Почему так

Где , функция возрастает, где — убывает. Точка не является экстремумом, так как знак производной в ней не меняется.

Ответ

Убывает на , возрастает на .

КР №Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2}$ на отрезке $[1; 4]$ .

Решение

В отрезок входит только .

Значения в точке и на концах отрезка:

Наибольшее значение равно

, наименьшее равно

💡 Почему так

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются в стационарных точках внутри отрезка или на его концах.

Ответ

;

КР №Построение графика функции

Построить график функции $f (x) = x + \frac{9}{x}$

Решение

Область определения: .
Функция нечётная: , график симметричен относительно начала координат.
Производная:
Знаки : на плюс, на минус, на минус, на плюс.

Функция возрастает на и , убывает на и .

— максимум, ; — минимум, .

Асимптоты: вертикальная , так как при . Наклонная , так как при .
Таблица значений:


		,		,	,

Для отрицательных значения противоположны.

💡 Почему так

Для построения графика находим область определения, чётность, промежутки монотонности, экстремумы и асимптоты.

Ответ

График — гипербола с ветвями в -й и -й четвертях. Вертикальная асимптота , наклонная . Минимум в точке , максимум в точке .

КР №Доказательство того, что функция — первообразная

Докажите, что функция $y = \frac{1}{5} x^{5} - cos 2 x$ является первообразной для функции $y = x^{4} + 2 sin 2 x$ .

Решение

Найдём производную функции :

Получили

на всей числовой прямой, значит

— первообразная для

💡 Почему так

Функция является первообразной для , если на рассматриваемом промежутке.

Ответ

, что и требовалось доказать.

Помогло?