Найдите площади клетчатых треугольников с высотой от 1 до 12 клеток.

Треугольник высоты состоит из столбцов высотой клеток. Его площадь:

Если сложить два таких треугольника, получится прямоугольник , поэтому берём половину его площади.

Ряды пирамиды имеют ширину клеток. Сумма первых нечётных чисел равна :

Квадрат со стороной имеет площадь .

Ряды печеньки имеют ширину . Это пирамида высоты и перевёрнутая пирамида высоты :

Рулетик размера  — это квадратов , каждый следующий сдвинут по диагонали на одну клетку. Площадь по включениям и исключениям считать долго. Проще заметить, что без центральной клетки фигура разбивается на треугольников высоты :

Проверка: даёт , а даёт  — совпадает.

Пирамида высоты делится на два треугольника: высоты и высоты .

Например, .

1. Квадрат  — это два соседних треугольника: (по диагонали).

2. Восемь одинаковых треугольников и одна клетка дают квадрат нечётного размера:

   Например, .

Пирамида высоты имеет площадь . Это площадь квадрата со стороной . Квадрат можно разрезать на «уголки» из клеток, и из них складывается пирамида.

Печенька размера  — это пирамида высоты плюс перевёрнутая пирамида высоты :

Например, .

Каждая пирамида равна двум соседним треугольникам: и . Подставим в :

Проверка для : .

В шахматной раскраске печеньки размера угловые клетки одного цвета. Чёрных клеток  — столько же, сколько в квадрате . Белых клеток  — столько же, сколько в квадрате . Всего . Например, : чёрных и  белых, .

Рулетик без центральной клетки разбивается на одинаковых клетчатых треугольников высоты :

Например, : .

Пусть сторона равна . Уберём центральную клетку. Остальное разрезаем «вертушкой» на прямоугольника , расположенных вокруг центра. Каждый прямоугольник режем «лесенкой» по диагонали на два клетчатых треугольника высоты клеток. Получаем треугольников и одну клетку.

Проверка: .

Так как , это площадь квадрата со стороной .