Найдите площадь сечения единичного куба A… D₁… (геометрия)

№ Площадь сечения куба

⚠️

Задания , и внизу фото не видны, их не решала. У заданий и рисунки обрезаны, но условия читаются полностью, поэтому они решены по тексту. Чтобы получить остальные, пришлите фото страницы целиком, ближе и крупнее.

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $A_{1} D_{1}$ .

Решение

Введём координаты: , , , .

Середины рёбер: на , на , на .

Отрезок параллелен оси , поэтому плоскость параллельна . Уравнение плоскости имеет вид .

Это проверяется точками и .

Плоскость пересекает грань по отрезку , где — середина .

Сечение — четырёхугольник . У него , , а . Значит, это прямоугольник.

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $B B_{1}$ , $C C_{1}$ , $A B$ .

Решение

Координаты: , , , .

Середины рёбер: на , на , на .

Отрезок параллелен оси . Плоскость содержит направление и точки , , поэтому её уравнение .

Эта плоскость пересекает нижнюю грань по отрезку , где — середина .

Сечение — прямоугольник: , , .

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середины рёбер $B B_{1}$ , $D D_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , .

Середины рёбер: на , на .

Плоскость проходит через , и . Проверка: для получаем , для получаем , для получаем .

Точка тоже лежит в этой плоскости: .

Сечение — четырёхугольник . Его стороны равны: . Значит, это ромб.

Диагонали ромба:

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $D$ и середины рёбер $A A_{1}$ , $C C_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , , .

Середины рёбер: на , на .

Плоскость проходит через , и . Проверка: для получаем , для получаем , для получаем .

Вершина тоже лежит в плоскости: .

Сечение — четырёхугольник . Его стороны равны: . Значит, это ромб.

Диагонали ромба:

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $B$ и середины $A_{1} D_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , .

Середины рёбер: на , на .

Плоскость проходит через , и . Проверка: для получаем , для получаем , для получаем .

Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами и :

на при получаем , то есть ;
на при получаем , то есть .

Сечение — пятиугольник .

Найдём площадь через проекцию на плоскость . Проекция пятиугольника — многоугольник , , , , .

Его площадь равна площади квадрата без отсечённого угла:

Вектор нормали , .

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середины рёбер $A D$ , $A_{1} D_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , .

Середины рёбер: на , на .

Отрезок параллелен , поэтому плоскость сечения перпендикулярна основанию. Она проходит через и и пересекает верхнюю грань по отрезку .

Сечение — прямоугольник с .

Ответ

№ Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершину $B$ и середины $C D$ , $B_{1} C_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , .

Середины рёбер: на , на .

Плоскость проходит через , и . Проверка: для получаем , для получаем , для получаем .

Эта плоскость пересекает ребро в точке : при получаем .

Сечение — четырёхугольник . Его проекция на плоскость — четырёхугольник , , , .

Площадь проекции по формуле Гаусса:

Вектор нормали , .

Ответ

№

Площадь сечения куба

Найдите площадь сечения единичного куба $A \dots D_{1}$ плоскостью, проходящей через вершины $A_{1}$ , $B$ и середину ребра $C_{1} D_{1}$ .

Решение

Координаты: , , , , .

Середина ребра : .

Плоскость проходит через , и . Проверка: для получаем , для получаем , для получаем .

Эта плоскость пересекает ребро в точке : при получаем .

Сечение — четырёхугольник . Отрезок параллелен , значит, это трапеция.

Проекция сечения на плоскость — трапеция , , , :

Вектор нормали , .

Ответ

Помогло?

Найдите площадь сечения единичного куба A… D₁ плоскостью, проходящей через…