Начертите два неколлинеарных вектора m и n… (геометрия)

№ (II вариант)Построение векторов

⚠️

Не решены: задание из I варианта (вверху, видна только последняя строка) и задание из II уровня, I варианта (обрезано внизу, видно только начало условия). Чтобы решить их, переснимите страницу так, чтобы эти задания были видны целиком.

Начертите два неколлинеарных вектора $m$ и $n$ . Постройте векторы, равные: а) $\frac{1}{3} m + 2 n$ ; б) $3 n - m$ .

Решение

Откладываем от точки векторы и .

а) Откладываем (втрое короче , того же направления). От точки откладываем (вдвое длиннее , того же направления). Тогда .

б) Откладываем . От точки откладываем (того же размера, что , но противоположно направленный). Тогда .

Ответ

а) вектор ; б) вектор (построены на чертеже).

№ (II вариант)Разложение векторов в квадрате

На стороне $C D$ квадрата $A B C D$ лежит точка $P$ так, что $C P = P D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $B O$ , $B P$ , $P A$ через векторы $x = B A$ и $y = B C$ .

Решение

— середина диагонали , а (правило параллелограмма). Поэтому
— середина , , а . Значит

Ответ

; ; .

№ (II вариант)Средняя линия равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции один из углов равен $60°$ , боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Пусть — трапеция, см — меньшее основание, см. Два угла трапеции равны (острые, при большем основании), два других — .

Проведём высоту . В прямоугольном треугольнике угол , поэтому

В равнобедренной трапеции такой же отрезок отсекается и с другой стороны, поэтому

Средняя линия равна полусумме оснований:

Ответ

см

№ * (II вариант)Медианы треугольника и векторы

В треугольнике $M N K$ $O$ — точка пересечения медиан, $M N = x$ , $M K = y$ , $M O = k \cdot (x + y)$ . Найдите число $k$ .

Решение

Пусть — медиана, — середина . Тогда

Медианы делятся точкой пересечения в отношении

, считая от вершины, поэтому

Значит,

Ответ

№ (II уровень, I вариант)Построение векторов

Начертите неколлинеарные векторы $a$ , $b$ , $c$ . Постройте векторы, равные: а) $\frac{1}{3} a + \frac{1}{2} c$ ; б) $- a + \frac{2}{3} b + 0, 5 c$ .

Решение

а) Откладываем от точки векторы и .

, затем от откладываем . Тогда .

б) Откладываем (противоположно ). От откладываем , от — .

Тогда .

Ответ

а) вектор ; б) вектор (построены на чертежах).

№ (II уровень, I вариант)Разложение векторов в параллелограмме

На сторонах $B C$ и $C D$ параллелограмма $A B C D$ отмечены точки $K$ и $E$ так, что $B K = K C$ , $C E : E D = 2 : 3$ . Выразите векторы $A K$ , $A E$ , $K E$ через векторы $a = A B$ и $b = A D$ .

Решение

Так как — параллелограмм, и .

— середина :
, значит , и :

Ответ

; ; .

Помогло?

Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а)…