На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по… (геометрия)

№ Взаимное расположение прямых в пространстве

На рисунке 1 плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $E F$ . Прямая $A B$ лежит в плоскости $α$ . В плоскости $β$ через точку $C$ проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую $A B$ ; 2) была скрещивающейся с прямой $A B$ ; 3) была параллельна прямой $A B$ .

Решение

Точка лежит на прямой , поэтому и . Прямая пересекает плоскость ровно в одной точке .

Проведём в плоскости прямую . Она проходит через , поэтому пересекает в точке .

Возьмём на прямой точку , отличную от , и проведём в плоскости прямую . Прямая пересекает плоскость в точке , а . По признаку скрещивающихся прямых и скрещиваются.
Такую прямую провести нельзя. Если бы прямая была параллельна , то . Но пересекает в точке . Противоречие.

💡 Почему так

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

Ответ

✓ dzmen.ru

прямая ;
прямая , где , ;
такую прямую провести нельзя, так как пересекает в точке .

№ Параллельные прямые в пространстве

На рисунке 2 $A A_{1} ∥ C C_{1}$ , $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $B B_{1} = C C_{1}$ . Докажите, что $B_{1} C_{1} = B C$ .

Решение

и , поэтому по признаку параллельности прямых в пространстве .
Две параллельные прямые и лежат в одной плоскости, значит, — точки одной плоскости.
В четырёхугольнике стороны и параллельны и равны по условию. Следовательно, он является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому .

💡 Почему так

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

Ответ

✓ dzmen.ru

, что и требовалось доказать.

Помогло?

На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая…