На рис. 56 три прямые пересекаются в точке O… (геометрия)

№ Смежные углы

На рис. 56 три прямые пересекаются в точке $O$ . Назовите все пары смежных углов.

Решение

Прямые , , пересекаются в точке . Лучи расположены по кругу в порядке: , , , , , . Противоположные лучи: и , и , и .

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны — противоположные лучи. Всего получается пар. Для каждого угла из соседних лучей нашлись две смежные пары, одна с каждой стороны.

Пары с общей стороной, лежащей на одном из лучей:

общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠.

Остальные пары получаются при другой общей стороне:

общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠;
общая сторона : ∠ и ∠.

💡 Почему так

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую (противоположные лучи). Их сумма равна .

Ответ

пар: ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠; ∠ и ∠.

№ Сумма смежных углов

На рис. 57 $∠1 = \frac{1}{3} ∠2$ . Найдите $∠1$ , $∠2$ .

Решение

Углы и смежные, поэтому .

Так как , получаем:

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна .

Ответ

№ Углы при пересечении трёх прямых

На рис. 58 три прямые пересекаются в точке $O$ , $∠ A O B = 70°$ , $∠ B_{1} O C_{1} = 30°$ . Найдите $∠ A O C_{1}$ , $∠ B O A_{1}$ .

Решение

Лучи и дополняют друг друга до прямой, поэтому углы , и вместе дают развёрнутый угол:

∠ смежный с ∠ (лучи и противоположные):

💡 Почему так

Развёрнутый угол равен , сумма смежных углов равна .

Ответ

№ Вертикальные углы

На рис. 59 три прямые пересекаются в одной точке, $∠3 = 20°$ , $∠4 : ∠5 = 1 : 3$ . Найдите $∠1$ , $∠2$ , $∠4$ , $∠5$ , $∠6$ .

Решение

Углы и вертикальные, поэтому .

Углы , , вместе образуют развёрнутый угол:

Пусть , тогда :

Значит, , .

Углы и вертикальные: .
Углы и вертикальные: .

Проверка: .

💡 Почему так

Вертикальные углы равны; три угла, лежащие по одну сторону прямой, в сумме дают .

Ответ

, , , ,

№ Доказательство перпендикулярности

На рис. 60 прямые $m$ , $n$ и $k$ пересекаются в одной точке, $∠2 - ∠3 = ∠1$ . Докажите, что $m ⊥ n$ .

Решение

Прямая и луч образуют с лучом вверх угол, вертикальный углу , поэтому он равен .

Углы , этот угол () и вместе образуют развёрнутый угол при прямой :

По условию , то есть . Подставим:

Угол — это угол между прямыми и . Он прямой, значит, .

💡 Почему так

Вертикальные углы равны, развёрнутый угол равен . Если при пересечении двух прямых один угол прямой, то прямые перпендикулярны.

Ответ

, следовательно, , что и требовалось доказать.

Помогло?

На рис. 56 три прямые пересекаются в точке O. Назовите все пары…