На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 15… (математика)

Логическая задача про драконов в ряду

На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 15 драконов. У соседей число голов отличается на один. Если у дракона больше голов, чем у его правого и левого соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у двух его соседей, — сильным, остальных (в том числе и стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно три хитрых дракона — с 5, 8 и 8 головами и ровно четыре сильных — с 4, 4, 5 и 7 головами. У первого и последнего драконов голов одинаковое количество.

Сколько голов может быть у первого дракона?

Решение

Хитрые драконы — это «вершины», сильные — «впадины». Крайние драконы не бывают ни теми, ни другими. Вершины и впадины чередуются, а впадин на одну больше, чем вершин ( и ). Значит, порядок такой: впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина. Первый дракон стоит до первой впадины, поэтому числа до неё убывают. После последней впадины числа возрастают до последнего дракона.

Обозначим впадины , вершины , а число голов у первого и последнего драконов .

Между соседними драконами шагов, на каждом число голов меняется на . Посчитаем, сколько шагов в каждом участке:

от первого дракона до : ;
от последнего дракона до : ;
между вершиной и соседней впадиной: разность их голов.

Каждая вершина соседствует с двумя впадинами, поэтому сумма участков между ними равна .

Здесь . Упростим:

Проверим, что такой ряд существует. Вершина с головами должна стоять между двумя впадинами меньше , то есть между двумя четвёрками. Подходит ряд из драконов:

, , , , , , , , , , , , , ,

Здесь хитрые: , , ; сильные: , , , ; первый и последний — по .

💡 Почему так

Вершины и впадины чередуются, поэтому их порядок известен. Сумма всех шагов между драконами даёт уравнение на число голов у крайних драконов.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 15 драконов. У соседей…