Колесо в форме правильного шестиугольника со… (геометрия)

Длина траектории центра катящегося шестиугольника

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $5 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Фото перевёрнуто, текст прочитан в правильной ориентации.

Гипотенуза: . Периметр: .

Центр правильного шестиугольника удалён от каждой вершины на расстояние . Поэтому центр движется только по дугам окружностей радиуса .

Движение по сторонам. Шестиугольник перекатывается вокруг вершины на , и при этом сдвигается на длину стороны . Сторона треугольника целиком укладывается в целое число сторон шестиугольника, поэтому на периметре получается поворотов по :

Движение в вершинах. Колесо огибает вершину треугольника снаружи и поворачивается вокруг неё. Свободный угол вокруг вершины равен , где — угол треугольника. Из него вычитаем внутренний угол шестиугольника . Поворот в вершине равен .

Сумма по трём вершинам, учитывая :

Общий угол поворота вокруг точек на расстоянии от центра:

Длина траектории:

При :

💡 Почему так

Центр шестиугольника всегда на расстоянии от вершины, вокруг которой он поворачивается, поэтому траектория состоит из дуг окружностей радиуса . Длина дуги пропорциональна суммарному углу поворота.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без…