Колесо в форме правильного шестиугольника со… (геометрия)

Траектория центра правильного шестиугольника при качении по треугольнику

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $8 a$ и $15 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Колесо катится снаружи треугольника.

Гипотенуза: . Периметр: .

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне . Поэтому центр колеса при любом повороте вокруг вершины шестиугольника движется по дуге радиуса , а длина дуги равна , где — угол поворота в радианах.

Движение по сторонам. Каждая сторона треугольника кратна , поэтому на ней укладывается целое число сторон шестиугольника. Один перекат — это поворот на . Всего перекатов , значит, суммарный угол равен

Переходы через вершины треугольника. Внутренний угол шестиугольника равен . В вершине треугольника с углом колесо поворачивается вокруг этой вершины на угол

Сумма углов треугольника равна , поэтому для трёх вершин суммарный угол

Весь путь. Полный угол поворота: , то есть радиан.

Длина траектории центра:

При :

💡 Почему так

Центр правильного шестиугольника отстоит от вершин на расстояние , поэтому он движется по дугам окружностей радиуса . Длина траектории равна , умноженному на суммарный угол поворота в радианах.

Ответ

✓ dzmen.ru

(то есть )

Помогло?

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без…