Колесо в форме правильного шестиугольника со… (геометрия)

№ Траектория центра катящегося шестиугольника

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной $a$ прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами $5 a$ и $12 a$ (полностью), вернувшись в исходную позицию. Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что $a = \frac{1}{π}$ ?

Решение

Гипотенуза равна . Периметр: .

Центр шестиугольника удалён от каждой его вершины на (радиус описанной окружности равен стороне).

Качение по прямой. За один поворот на вокруг вершины колесо смещается на сторону , а центр идёт по дуге окружности радиуса с углом . Длина дуги: . Всего по сторонам нужно таких шагов:

Повороты в вершинах треугольника. В вершине с внутренним углом колесо поворачивается вокруг неё на угол , а центр идёт по дуге радиуса . Сумма углов по трём вершинам:

Длина этих дуг: .

Итого:

💡 Почему так

Центр шестиугольника при качении всё время вращается вокруг вершины на расстоянии , поэтому его путь состоит из дуг радиуса .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Пирамида, середины рёбер и площади граней

Дана треугольная пирамида $A B C D$ . Середину ребра $A B$ соединили с серединами всех других рёбер, кроме $C D$ , и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра $C D$ , если известно, что произведение площадей треугольников $C A D$ и $C B D$ равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без $A B$ и $C D$ равна 208.

Решение

Пусть — середина . Отрезки от к серединам , , , — средние линии треугольников , , , . Они равны , , , .

Произведение:

Площади:

По условию это равно , значит , то есть .

По теореме Пифагора

Сложим:

Левая часть равна , значит .

💡 Почему так

Произведение двух площадей не больше произведения четырёх сторон, равенство достигается только при прямых углах.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Корни квадратных уравнений, теорема Виета

Ненулевые числа $a, b, c, d, p, q, r, t$ таковы, что каждое из квадратных уравнений $a x^{2} - p x + c = 0$ , $b x^{2} - q x + d = 0$ , $c x^{2} - r x + a = 0$ , $d x^{2} - t x + b = 0$ имеет по два положительных корня, образующих множество $K$ из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества $K$ равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества $K$ равна $\frac{13}{12}$ . Найдите наименьший из этих восьми корней.

Решение

По теореме Виета произведения корней четырёх уравнений равны , , , .

Произведение всех восьми корней:

Произведение шести наибольших равно , поэтому произведение двух наименьших и :

Их сумма . Составим уравнение:

Наименьший из корней равен .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Цифры и сумма двузначных чисел

Пусть $a, b, c, d$ — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел $ab$ , $b c$ , $c d$ , $d a$ — трёхзначное число $N$ , начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число $N$ может удовлетворять условию задачи?

Решение

Значит, делится на . Среди чисел , …, на делится только .

Тогда . Это возможно для различных ненулевых цифр, например . Значит, — единственное подходящее число, а значит и наибольшее.

💡 Почему так

Каждая цифра входит в сумму один раз как десятки и один раз как единицы, поэтому сумма равна .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Деление отрезка и неравенство четырёхугольника

Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Решение

Пусть три равных отрезка имеют длину , четвёртый — . Тогда , откуда , то есть . Равенство невозможно, так как не делится на .

Четырёхугольник существует, если наибольший отрезок меньше суммы трёх остальных.

Если , то : , откуда , то есть . Также даёт . Подходят , то есть — способа.
Если , то наибольший отрезок выполнено всегда. Условие даёт , то есть . Подходят , то есть — способа.

Всего: .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без…