Построение линии пересечения плоскостей
Изобразите трапецию ABCD и точку K, не лежащую в плоскости ABC. Отметьте точки E и P — середины диагоналей AC и BD соответственно. Постройте линию пересечения плоскостей EPK и ADK.
Решение
Считаем, что основания трапеции — AD и BC.
- Плоскости EPK и ADK имеют общую точку K. Значит, они пересекаются по прямой, проходящей через K.
- Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD. Средняя линия трапеции MN параллельна основаниям. Она проходит через середины диагоналей: в треугольнике ABC отрезок ME — средняя линия, ME
BC, а в треугольнике ABD отрезок MP — средняя линия, MP AD. Через точку M проходит только одна прямая, параллельная AD, поэтому точки M, E, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, EP AD. - Прямая EP параллельна прямой AD, лежащей в плоскости ADK, и сама в этой плоскости не лежит. Значит, EP
плоскости ADK. - Если плоскость EPK проходит через прямую EP, параллельную плоскости ADK, то линия пересечения этих плоскостей параллельна EP.
Построение:
- строим трапецию ABCD, точку K, диагонали AC и BD;
- отмечаем середины E и P диагоналей, проводим EP;
- через K проводим прямую
(то есть ).
Прямая
💡 Почему так
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. EP — часть средней линии трапеции, поэтому EP
Ответ
Искомая линия пересечения плоскостей EPK и ADK — прямая, проходящая через точку K параллельно AD (и EP).
Помогло?
