Используя определение произведения чисел через… (математика)

№ Теоретико-множественный смысл произведения ·

Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения $2 \cdot 4$ .

Решение

По определению произведение при — это сумма слагаемых, каждое из которых равно :

Число — это число элементов в множестве : . Число показывает, сколько таких множеств берём.

Пусть — попарно непересекающиеся множества, в каждом по элемента: .

Тогда по определению суммы (через объединение непересекающихся множеств):

Значит, — это число элементов в объединении четырёх попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых по элемента. Это число равно .

💡 Почему так

Произведение — число элементов в объединении непересекающихся равночисленных множеств по элементов в каждом.

Ответ

— число элементов объединения попарно непересекающихся множеств по элемента в каждом; оно равно .

№ Декартово произведение и произведение чисел

Раскройте теоретико-множественный смысл произведения $2 \cdot 4$ , используя определение произведения чисел через декартово произведение множеств.

Решение

По определению , где , .

Возьмём , , и , .

Декартово произведение — множество всех упорядоченных пар , где , :

Пар , значит .

Следовательно, .

💡 Почему так

Произведение чисел и — число элементов декартова произведения множеств, содержащих и элементов.

Ответ

— число элементов декартова произведения множества из элементов и множества из элементов, то есть число упорядоченных пар; оно равно .

№ Дистрибутивность умножения

Докажите, что дистрибутивность умножения относительно сложения вытекает из равенства $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ , а относительно вычитания — из равенства $(A ∖ B) \times C = (A \times C) ∖ (B \times C)$ .

(В условии на фото второе равенство напечатано как $(A ∖ B) \times C) = (A \times B) ∖ (A \times C)$ — с опечаткой в скобках и в буквах; верное равенство записано выше.)

Решение

Сложение. Пусть , , , множества и не пересекаются. Тогда .

По определению произведения:

Так как , а множества и не пересекаются (так как ), то

Значит, .

Вычитание. Пусть , , , . Тогда .

Так как , а , то

Значит, .

💡 Почему так

Число элементов декартова произведения равно произведению чисел элементов множеств; операции над множествами (объединение непересекающихся, дополнение подмножества) соответствуют сложению и вычитанию.

Ответ

Доказано: и .

№ Задачи на умножение

Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.
а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько всего яблок положили?
б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

Решение

а) Яблоки лежат на тарелках, на каждой по яблока. Это объединение непересекающихся множеств, в каждом по элемента. Число элементов равно сумме , а сумма равных слагаемых — это произведение:

б) Деревья посажены в ряда, в каждом ряду по деревьев. Это объединение непересекающихся множеств по элементов:

💡 Почему так

Если нужно найти число элементов в объединении нескольких непересекающихся множеств с одинаковым числом элементов, задача решается умножением.

Ответ

а) яблок
б) деревьев

Помогло?

Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков…