Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно…

Пусть на прямой отложены равные отрезки , а параллельные прямые , , пересекают прямую в точках , , . Докажем, что .

1. Если , то и — параллелограммы. Значит, и . Так как , то .

2. Если , проведём через прямую . Она пересекает и в точках и . По случаю : и , поэтому .

Через проведём прямую ; она пересекает в точке . Тогда — параллелограмм, значит .

Рассмотрим треугольники и :

• ;
• как соответственные при и секущей ;
• как углы с соответственно параллельными сторонами (, , оба угла острые или оба тупые одинаково направлены).

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда .

Аналогично и т. д.

Пусть — трапеция с основаниями и , — середина , — середина .

Проведём прямую до пересечения с продолжением в точке .

Треугольники и :

• , так как — середина ;
• как вертикальные;
• как накрест лежащие при и секущей .

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому .

В треугольнике : — середина , — середина . Значит, — средняя линия, и , то есть . Так как , то и .

Основания . Углы и — односторонние при параллельных прямых , и секущей , их сумма :

Углы и — односторонние при секущей :