Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD… (геометрия)

№

Признаки параллелограмма

⚠️

Задание внизу фото обрезано, его условие не видно, поэтому оно не решено. Чтобы решить его, переснимите нижнюю часть страницы так, чтобы задание было видно целиком.

Докажите, что выпуклый четырёхугольник $A B C D$ является параллелограммом, если: а) $∠ B A C = ∠ A C D$ и $∠ B C A = ∠ D A C$ ; б) $A B ∥ C D$ , $∠ A = ∠ C$ .

Решение

а) Углы и равны и являются накрест лежащими при прямых , и секущей . Значит, .

Углы и равны и являются накрест лежащими при прямых , и секущей . Значит, .

У четырёхугольника противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он параллелограмм.

б) Так как , односторонние углы при секущих и в сумме дают :

Отсюда и . Так как , получаем .

Сумма углов четырёхугольника равна :

Углы и односторонние при прямых , и секущей , и их сумма равна . Значит, .

Итак, и , то есть — параллелограмм.

💡 Почему так

Признак параллельности прямых: если накрест лежащие углы равны или сумма односторонних углов равна , то прямые параллельны. Четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон — параллелограмм.

Ответ

Доказано: в обоих случаях противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он параллелограмм.

№

Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.

Решение

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому , то есть см.

а) :

б) :

в) :

💡 Почему так

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух соседних сторон, так как противоположные стороны равны.

Ответ

а) , см и , см
б) , см и , см
в) см и см

№

Параллелограмм и высота

Периметр параллелограмма $A B C D$ равен 50 см, $∠ C = 30°$ , а перпендикуляр $B H$ к прямой $C D$ равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Из периметра см.

В прямоугольном треугольнике угол равен , а катет лежит против него. Катет против угла равен половине гипотенузы:

Тогда см.

Противоположные стороны равны: см, см.

💡 Почему так

Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.

Ответ

см, см.

№

Биссектриса угла параллелограмма

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A B C D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K$ . Найдите периметр этого параллелограмма, если $B K = 15$ см, $K C = 9$ см.

Решение

Так как , то как накрест лежащие углы при секущей .

— биссектриса, поэтому . Значит, , и треугольник равнобедренный:

Сторона см.

Периметр:

💡 Почему так

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Ответ

см

№

Периметр параллелограмма и биссектриса

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Решение

Пусть биссектриса угла пересекает сторону в точке . Как в задаче , треугольник равнобедренный, поэтому . Сторона см.

Возможны два случая.

см. Тогда см:

см. Тогда см:

💡 Почему так

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник, поэтому меньшая сторона равна одному из отрезков, а большая — их сумме. Какой из отрезков равен стороне, в условии не сказано, поэтому два ответа.

Ответ

см или см

№

Углы параллелограмма

Найдите углы параллелограмма $A B C D$ , если:
а) $∠ A = 84°$ ; б) $∠ A - ∠ B = 55°$ ; в) $∠ A + ∠ C = 142°$ ; г) $∠ A = 2∠ B$ ;
д) $∠ C A D = 16°$ , $∠ A C D = 37°$ .

Решение

В параллелограмме противоположные углы равны (, ), а соседние в сумме дают .

а) , .

б) Из и получаем:

Тогда , .

в) Так как , то , откуда . Тогда .

г) и :

Тогда , .

д) В треугольнике :

Тогда , а .

💡 Почему так

Свойства параллелограмма: противоположные углы равны, сумма соседних углов равна .

Ответ

а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,

Помогло?

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а)…