Даны векторы a{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2}, c{2; 1… (геометрия)

№ (вариант )Координаты вектора

Даны векторы $a {- 1; 2; 0}$ , $b {0; - 5; - 2}$ , $c {2; 1; - 3}$ . Найдите координаты вектора $p = 3 b - 2 a + c$

Решение

Дано: , , , .

Найти: координаты .

Каждую координату считаем отдельно:

💡 Почему так

При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. При сложении и вычитании векторов действия выполняются над соответствующими координатами.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Доказательство параллелограмма

Даны точки A(4; -3; 5), B(6; -7; 5), C(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажите, что АВСД – параллелограмм.

Решение

Дано: A(; -; ), B(; -; ), C(; ; ), D(; ; ).

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Найдём координаты векторов и (из координат конца вычитаем координаты начала):

Итак, , то есть и .

Проверим, что точки не лежат на одной прямой: не пропорционален .

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм.

💡 Почему так

Признак параллелограмма: если , то ABCD – параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

, значит ABCD – параллелограмм.

№ (вариант )Угол между векторами

Вычислите угол между векторами $A B$ и $C D$ , если A(3; -2; 4), B(4; -1; 2), C(6; -3; 2), D(7; -3; 1)

Решение

Дано: A(; -; ), B(; -; ), C(; -; ), D(; -; ).

Найти: угол между и .

💡 Почему так

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению, делённому на произведение длин.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Скалярное произведение

Даны векторы $a = 5 i - 2 j + 4 k$ и $b = 3 j + 2 k$ . Вычислите $a \cdot b$ .

Решение

Дано: , .

Найти: .

Координаты: , .

💡 Почему так

Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Уравнение сферы

Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 25$ .

Решение

Дано: сфера .

Найти: центр и радиус.

Уравнение сферы: .

Сравниваем: , (так как ), .

, .

💡 Почему так

Координаты центра берутся с противоположным знаком относительно скобок, а справа стоит квадрат радиуса.

Ответ

✓ dzmen.ru

Центр , радиус .

№ (вариант )Координаты вектора

Даны векторы $a {- 1; 2; 0}$ , $b {0; - 5; - 2}$ , $c {2; 1; - 3}$ . Найдите координаты вектора $n = 3 c - 2 b + a$

Решение

Дано: , , , .

Найти: координаты .

💡 Почему так

Действия с векторами выполняются покоординатно.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Доказательство параллелограмма

Даны точки A(3; 5; 4), B(4; 6; 5), C(6; -2; 1) и Д(5; -3; 0). Докажите, что АВСД – параллелограмм.

Решение

Дано: A(; ; ), B(; ; ), C(; -; ), D(; -; ).

Доказать: ABCD – параллелограмм.

, значит и .

Точки не лежат на одной прямой: не пропорционален .

Четырёхугольник с равными и параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

💡 Почему так

Если , то ABCD – параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

, значит ABCD – параллелограмм.

№ (вариант )Угол треугольника

Определите угол А треугольника, вершинами которого являются точки A (1; -1; 3), B (3; -1; 1), C (-1; 1; 3)

Решение

Дано: треугольник ABC, A(; -; ), B(; -; ), C(-; ; ).

Найти: угол A.

Угол A — это угол между векторами и .

💡 Почему так

Угол треугольника при вершине A — угол между векторами, выходящими из A.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Скалярное произведение

Даны векторы $a = 5 i - 2 j + 4 k$ и $b = 3 j + 2 k$ . Вычислите $a \cdot b$ .

Решение

Дано: , .

Найти: .

, .

💡 Почему так

Скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ (вариант )Уравнение сферы

Написать уравнение сферы радиуса R с центром в точке A, если A (2; 0; -1), R = 7.

Решение

Дано: центр A(; ; -), R = .

Написать: уравнение сферы.

Общий вид: .

Подставляем , , , :

💡 Почему так

В уравнение сферы подставляются координаты центра и квадрат радиуса.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Даны векторы a{-1; 2; 0}, b{0; -5; -2}, c{2; 1; -3}. Найдите…