Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной… (геометрия)

№

Построение параллелограмма по трём вершинам

Даны три точки $A$ , $B$ и $C$ , не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Решение

Построение:

Проводим через точку прямую, параллельную , а через точку прямую, параллельную . Они пересекаются в точке , и — параллелограмм.
Проводим через прямую, параллельную , а через прямую, параллельную . Они пересекаются в точке , и — параллелограмм.
Проводим через прямую, параллельную , а через прямую, параллельную . Они пересекаются в точке , и — параллелограмм.

Четвёртой вершиной может быть вершина, противоположная любой из трёх данных точек. Других вариантов нет, поэтому получаем три параллелограмма.

💡 Почему так

Четвёртая вершина противоположна одной из трёх данных точек, и для каждого выбора получается ровно один параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

Можно построить параллелограмма.

№

Построение параллелограмма по углу, высоте и стороне

Даны острый угол $hk$ и два отрезка $P_{1} Q_{1}$ и $P_{2} Q_{2}$ . Постройте параллелограмм $A B C D$ так, чтобы расстояние между параллельными прямыми $A B$ и $D C$ равнялось $P_{1} Q_{1}$ , $A B = P_{2} Q_{2}$ и $∠ A = ∠ hk$ .

Решение

Построение:

Строим угол , равный углу , со сторонами и .
На луче откладываем отрезок .
Строим перпендикуляр к и откладываем на нём отрезок . Через его конец проводим прямую . Расстояние от до равно .
Точка пересечения прямой с лучом — вершина .
На прямой от точки в сторону луча откладываем и соединяем с .

— искомый параллелограмм: и , , , расстояние между и равно .

💡 Почему так

Параллелограмм, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, строится по углу, одной стороне и высоте.

Ответ

✓ dzmen.ru

Построен параллелограмм с , и высотой .

№

Деление отрезка на равные части

Разделите данный отрезок $A B$ на $n$ равных частей.

Решение

Покажем построение для .

Проводим луч , не лежащий на прямой .
На луче от точки откладываем последовательно равных отрезков .
Соединяем точку с точкой .
Через точки проводим прямые, параллельные . Они пересекают в точках .
По теореме Фалеса отрезки равны, так как равны отрезки .

Значит, отрезок разделён на равных частей.

💡 Почему так

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне (теорема Фалеса).

Ответ

✓ dzmen.ru

Точки делят отрезок на равных частей.

№

Построение равнобедренной трапеции

Постройте равнобедренную трапецию $A B C D$ :
а) по основанию $A D$ , углу $A$ и боковой стороне $A B$ ;
б) по основанию $B C$ , боковой стороне $A B$ и диагонали $B D$ .

Решение

а)

Строим отрезок данной длины.
При вершине строим угол, равный данному, и на его стороне откладываем .
При вершине строим угол, равный углу , по ту же сторону от , так как в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Через точку проводим прямую, параллельную . Точка её пересечения со стороной угла при — вершина .

— искомая трапеция.

б)

Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому . Строим треугольник по трём сторонам: , , .
Через вершину проводим прямую .
Строим окружность с центром радиуса . Она пересекает в двух точках. Берём ту, которая лежит с той же стороны от , что точка от . Это вершина .
Соединяем с .

— искомая трапеция: , (диагонали и равны).

💡 Почему так

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, а диагонали равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) Построена трапеция с основанием , углом и боковой стороной , причём .
б) Построена трапеция с основанием , боковой стороной и диагональю .

№

Построение прямоугольной трапеции

Постройте прямоугольную трапецию $A B C D$ по основаниям и боковой стороне $A D$ , перпендикулярной к основаниям.

Решение

Строим отрезок , равный данной боковой стороне.
В точках и строим перпендикуляры к по одну сторону от неё.
На перпендикуляре из откладываем , равный одному основанию. На перпендикуляре из откладываем , равный другому основанию.
Соединяем с .

Тогда , так как обе прямые перпендикулярны , а . Следовательно, — искомая прямоугольная трапеция.

💡 Почему так

Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому концы отрезков, отложенных на перпендикулярах, дают основания трапеции.

Ответ

✓ dzmen.ru

Построена прямоугольная трапеция с , и данными основаниями , .

Помогло?

Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой.…