Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁… (геометрия)

№

Координаты вершин куба

Даны координаты четырёх вершин куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : $A (0; 0; 0)$ , $B (0; 0; 1)$ , $D (0; 1; 0)$ и $A_{1} (1; 0; 0)$ . Найдите координаты остальных вершин куба.

Решение

Ребро куба , поэтому все рёбра равны . Рёбра , , лежат на осях координат.

— четвёртая вершина квадрата , поэтому , и .

Остальные вершины верхней грани получаются сдвигом на вектор :

, , .

Ответ

, , , .

№

Координаты векторов по разложению

Запишите координаты векторов: $a = 3 i + 2 j - 5 k$ , $b = - 5 i + 3 j - k$ , $c = i - j$ , $d = j + k$ , $m = k - i$ , $n = 0, 7 k$ .

Решение

Коэффициенты при , , — это координаты вектора. Если какого-то вектора в разложении нет, его коэффициент равен .

, , , , , .

Ответ

, , , , , .

№

Разложение вектора по координатным векторам

Даны векторы $a {5; - 1; 2}$ , $b {- 3; - 1; 0}$ , $c {0; - 1; 0}$ , $d {0; 0; 0}$ . Запишите разложения этих векторов по координатным векторам $i$ , $j$ , $k$ .

Решение

Вектор с координатами раскладывается как .

Ответ

; ; ; .

№

Координаты векторов в прямоугольном параллелепипеде

На рисунке 124 изображён прямоугольный параллелепипед, у которого $O A = 2$ , $O B = 3$ , $O O_{1} = 2$ . Найдите координаты векторов $O A_{1}$ , $O B_{1}$ , $O O_{1}$ , $O C$ , $O C_{1}$ , $B C_{1}$ , $A C_{1}$ , $O_{1} C$ в системе координат $O x y z$ .

Решение

Ось идёт по , ось — по , ось — по . Координаты вершин:

, , , , , , .

Координаты вектора равны разностям координат конца и начала:

, , , , ,

Ответ

, , , , , , , .

№

Координаты суммы и разности векторов

Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Решение

Пусть и . Тогда и .

Сложим, используя переместительный и сочетательный законы и распределительный закон для умножения на число:

Разложение вектора по некомпланарным векторам единственно, поэтому координаты равны .

Для разности:

значит, координаты равны . Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: .

№

Сумма векторов в координатах

Даны векторы $a {3; - 5; 2}$ , $b {0; 7; - 1}$ , $c {\frac{2}{3}; 0; 0}$ и $d {- 2, 7; 3, 1; 0, 5}$ . Найдите координаты векторов: а) $a + b$ ; б) $a + c$ ; в) $b + c$ ; г) $d + b$ ; д) $d + a$ ; е) $a + b + c$ ; ж) $b + a + d$ ; з) $a + b + c + d$ .

Решение

Складываем соответствующие координаты.

а)

б)

в)

г)

д)

е) , плюс :

ж) , плюс :

з) , где , получаем

Ответ

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)

№

Координаты векторов по рисунку

По данным рисунка 125 найдите координаты векторов $A C$ , $C B$ , $A B$ , $M N$ , $N P$ , $B M$ , $O M$ , $O P$ , если $O A = 4$ , $O B = 9$ , $O C = 2$ , а $M$ , $N$ и $P$ — середины отрезков $A C$ , $O C$ и $C B$ .

Решение

Точки лежат на осях: , , .

Середины отрезков: — середина , — середина , — середина .

Ответ

, , , , , , , .

№

Действия над векторами в координатах

Даны векторы $a {5; - 1; 1}$ , $b {- 2; 1; 0}$ , $c {0; 0, 2; 0}$ и $d {- \frac{1}{3}; 2 \frac{2}{5}; - \frac{1}{7}}$ . Найдите координаты векторов: а) $a - b$ ; б) $b - a$ ; в) $a - c$ ; г) $d - a$ ; д) $c - d$ ; е) $a - b + c$ ; ж) $a - b - c$ ; з) $2 a$ ; и) $- 3 b$ ; к) $- 6 c$ ; л) $- \frac{1}{3} d$ ; м) $0, 2 b$ .

Решение

Действия выполняем покоординатно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

Ответ

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)

№

Линейные комбинации векторов

Даны векторы $a {- 1; 2; 0}$ , $b {0; - 5; - 2}$ и $c {2; 1; - 3}$ . Найдите координаты векторов $p = 3 b - 2 a + c$ и $q = 3 c - 2 b + a$ .

Решение

, , .

Ответ

, .

Помогло?

Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁: A(0; 0; 0), B(0; 0; 1),…