Дано: точка K лежит вне плоскости параллелограмма ABCD. Указать пары параллельных прямых и плоскостей.
В параллелограмме
Прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в ней, параллельна этой плоскости. Поэтому:
, , , значит ; , , значит ; , , значит ; , , значит .
Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости и сама в ней не лежит.
Параллельные прямые:
Прямая и плоскость:
Дано: точка K лежит вне плоскости трапеции ABCD. Доказать: CD∥AKB.
- В трапеции
основания и параллельны: . - Прямая
лежит в плоскости . - Прямая
в плоскости не лежит. Плоскость пересекает плоскость трапеции только по прямой , а точки и на не лежат. - Прямая
параллельна прямой из плоскости и не лежит в этой плоскости. По признаку .
Доказано:
Дано: плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямые a и b принадлежат плоскостям α и β соответственно. a∥b. Доказать: a∥b∥c.
и . Прямая не лежит в : иначе она лежала бы в обеих плоскостях, то есть совпала бы с , и доказывать было бы нечего. Значит, по признаку . - Прямая
лежит в , а плоскость пересекает по прямой . Если прямая , параллельная плоскости , лежит в плоскости , пересекающей по , то . - Итак,
и . По транзитивности параллельности прямых .
Доказано:
Дано: плоскости α и β пересекаются по прямой a. b∥α, b∥β. Доказать: b∥a.
- Возьмём на прямой
точку и проведём плоскость через и . - Плоскость
пересекает по прямой , проходящей через . Так как , получаем . - Плоскость
пересекает по прямой , проходящей через . Так как , получаем . - В плоскости
через точку проходит только одна прямая, параллельная . Значит, . - Эта прямая лежит и в
, и в , то есть . Следовательно, .
Доказано:
Дано: прямая b пересекает плоскость α в точке M. a∥b. Доказать: a пересекает α.
- Через параллельные прямые
и проходит плоскость . Она содержит точку , лежащую на . - Плоскости
и различны, так как . Они имеют общую точку , поэтому пересекаются по прямой , проходящей через . - В плоскости
прямая пересекает в точке . Значит, пересекает и параллельную ей в некоторой точке . - Точка
лежит на , значит . Итак, и имеют общую точку . - Прямая
не лежит в . Иначе , параллельная и проходящая через , тоже лежала бы в , а это противоречит условию.
Значит,
Доказано:
Дано: a∥α, a∥b, M — общая точка плоскости α и прямой b. Доказать: b принадлежит α.
- Проведём плоскость
через прямую и точку . Так как и , прямая лежит в . - Плоскости
и имеют общую точку , поэтому пересекаются по прямой , проходящей через . - Прямая
, значит, не имеет общих точек с и с . Прямые и лежат в одной плоскости , поэтому . - В плоскости
через точку проходит единственная прямая, параллельная . Это и , и , значит . - Так как
, то .
Доказано:
Дано: плоскость α пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках B1 и C1 соответственно. B1C1∥BC, AC1:C1C=3:4. Найти BC.
На рисунке длина
-
Треугольники
и подобны: угол общий, , поэтому соответственные углы равны. -
Пусть
, . Тогда и -
Отсюда
