Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной… (геометрия)

№ Плоскости и прямые в пространстве

Дано: точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.
Указать:

плоскости, которым принадлежит: а) прямая $A B$ ; б) точка $F$ ; в) точка $C$ .
прямую пересечения плоскостей: а) $A B C$ и $A C D$ ; б) $A B D$ и $D C F$ .

Решение

На рисунке точка лежит на прямой .

а) Прямая лежит в плоскостях, которые содержат две её точки и и ещё одну из точек или : это плоскости и .

б) Точка лежит на прямой . Значит, она принадлежит каждой плоскости, содержащей эту прямую: и .

в) Точка принадлежит плоскостям , и .

а) Плоскости и различны, и у них есть две общие точки и . Линия пересечения — прямая .

б) Так как , плоскость совпадает с плоскостью . Плоскости и имеют общие точки и , поэтому линия пересечения — прямая .

💡 Почему так

Если две различные плоскости имеют две общие точки, они пересекаются по прямой через эти точки. Прямая, у которой две точки лежат в плоскости, целиком лежит в ней.

Ответ

а) и ; б) и (она же ); в) , , .
а) прямая ; б) прямая .

№ Точки и прямые относительно плоскости

Дано: точка $M$ лежит вне плоскости $α$ , а точки $A$ , $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости.

Принадлежит ли точка $F$ плоскости $α$ ?
Указать прямую пересечения плоскостей: а) $α$ и $A B M$ ; б) $A B M$ и $B M C$ .
Может ли точка $E$ принадлежать плоскости $α$ ?
Принадлежит ли прямая $A C$ плоскости $M B C$ ?

Решение

Исходя из рисунка, лежит на прямой , а — на прямой . Обе точки отличны от и .

Прямая не лежит в , потому что . Она пересекает только в точке . Точка , поэтому .
а) У плоскостей и общие точки и , значит, линия пересечения — прямая .
б) У плоскостей и общие точки и , значит, линия пересечения — прямая .
Прямая пересекает только в точке . Точка , поэтому не может принадлежать .
Плоскость пересекает по прямой . Точка не лежит на (точки , , не на одной прямой), поэтому . Значит, прямая плоскости не принадлежит.

💡 Почему так

Прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не более одной общей точки.

Ответ

нет.
а) прямая ; б) прямая .
нет.
нет.

№ Точка и две пересекающиеся плоскости

Дано: плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $a$ . Может ли точка $C$ принадлежать плоскостям $α$ и $β$ ?

Решение

Все общие точки плоскостей и лежат на прямой их пересечения. Точка на рисунке не лежит на прямой . Поэтому она не может принадлежать одновременно обеим плоскостям.

💡 Почему так

Две различные пересекающиеся плоскости имеют общие точки только на прямой пересечения.

Ответ

Нет, не может, так как .

№ Взаимное расположение прямых

Дано: точка $D$ лежит вне плоскости $A B C$ . Пересекаются ли прямые $D E$ и $B C$ ?

Решение

Точка лежит на стороне и не совпадает с .

Прямая не лежит в плоскости , так как . Значит, она пересекает эту плоскость только в точке .

Если бы и пересекались, точка пересечения лежала бы на , то есть в плоскости . Такая точка должна быть точкой . Но , потому что лежит на и .

Значит, общих точек нет. Прямые не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся.

💡 Почему так

Прямая, пересекающая плоскость в точке, не лежащей на данной прямой этой плоскости, скрещивается с этой прямой.

Ответ

Нет, не пересекаются: прямые и скрещивающиеся.

Помогло?

Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.…