Задание
Дано: прямая AB лежит в плоскости α, прямая CD пересекает плоскость α, C ∈ α, C ∉ AB.
Доказать: прямые AB и CD — ______.
Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не ______ . Тогда они будут лежать в некоторой ______ β. Так как в этой плоскости будут лежать прямая AB и точка C, то плоскость β совпадет с ______, а значит, прямая CD ______, что противоречит ______. Теорема доказана.
Доказываем методом от противного.
Допустим, что прямые AB и CD не скрещиваются. Тогда они лежат в одной плоскости, то есть в некоторой плоскости β.
Через прямую AB и не лежащую на ней точку C проходит единственная плоскость. Так как в плоскости β лежат прямая AB и точка C, то β совпадает с α (в α они тоже лежат).
Значит, прямая CD лежит в плоскости α. Это противоречит условию: прямая CD пересекает плоскость α.
Предположение неверно, и прямые AB и CD скрещивающиеся.
Признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. Здесь используется теорема: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Прямые AB и CD — скрещивающиеся.
Пропуски по порядку: скрещиваются; плоскости; α; лежит в плоскости α; условию (тому, что прямая CD пересекает плоскость α).
