Дано ∠ EMC = ∠ MCA и ∠ PEB = ∠ EBC… (геометрия)

№ Признак параллельности плоскостей

Дано $∠ E M C = ∠ M C A$ и $∠ P E B = ∠ E B C$ (рис. 3). Докажите, что плоскости $M E P$ и $A B C$ параллельны.

Решение

На рисунке , , .

Прямые и лежат в плоскости . Углы и — накрест лежащие при секущей (точки и лежат по разные стороны от ). Они равны, поэтому .
Прямые и лежат в плоскости . Углы и — накрест лежащие при секущей и равны, поэтому .
В плоскости прямые и пересекаются в точке . В плоскости им параллельны пересекающиеся прямые и .
По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит, .

💡 Почему так

Равенство накрест лежащих углов даёт параллельность прямых. Две пары параллельных пересекающихся прямых дают параллельность плоскостей.

Ответ

✓ dzmen.ru

Плоскости и параллельны, что и требовалось доказать.

№ Линии пересечения плоскостей с параллельной плоскостью

Отрезок $C D$ лежит в плоскости $α$ . Концы отрезка $E M$ лежат в параллельных плоскостях $α$ и $β$ (рис. 4). Постройте линии пересечения плоскостей $E C D$ , $E M C$ и $E M D$ с плоскостью $β$ .

Решение

Точка лежит в плоскости и во всех трёх плоскостях. Значит, она принадлежит каждой искомой линии. Если параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны. Отсюда построение.

Плоскость пересекает по прямой . Через в плоскости проводим прямую . Это линия пересечения с .
Плоскость пересекает по прямой . Через проводим прямую . Это линия пересечения с .
Плоскость пересекает по прямой . Через проводим прямую . Это линия пересечения с .

💡 Почему так

Теорема: линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Ответ

✓ dzmen.ru

Три прямые в плоскости , проходящие через : (для ), (для ), (для ).

Помогло?