Дана призма ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 1). Точка M… (геометрия)

№ Прямая пересечения плоскостей в призме

⚠️

Задание не решено: на фото обрезано название точки на грани AA₁D₁D, а рисунок виден лишь частично. Сфотографируйте весь низ страницы ближе и крупнее, лучше по – задания на фото, или пришлите фото файлом.

Дана призма $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (рис. 1). Точка $M$ принадлежит ребру $A A_{1}$ , точка $K$ — ребру $C C_{1}$ . Постройте прямую пересечения плоскостей $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $M D K$ .

Решение

Плоскость — плоскость верхнего основания, она содержит прямые , , . Нужно найти две общие точки плоскостей и .

Точки и лежат в плоскости , как и прямая . Прямые и не параллельны, поэтому проводим до пересечения с в точке . Тогда и .
Точки и лежат в плоскости , как и прямая . Проводим до пересечения с в точке . Тогда и .
Прямая содержит две общие точки плоскостей, значит, это их линия пересечения.
Для проверки: прямая в плоскости пересекает в точке , и лежит на .

💡 Почему так

Если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Общие точки находим как пересечения прямых, лежащих в одной грани.

Ответ

Искомая прямая — , где , .

№ Сечение тетраэдра плоскостью

Постройте сечение тетраэдра $S A B C$ (рис. 2) плоскостью, проходящей через точки $M$ , $P$ и $K$ , принадлежащие рёбрам $S A$ , $A C$ и $S B$ соответственно.

Решение

Точки и лежат в грани . Соединяем их: — сторона сечения.
Точки и лежат в грани . Соединяем их: — сторона сечения.
Прямые и лежат в плоскости . Продолжаем до пересечения с прямой в точке .
Точки и лежат в плоскости . Проводим прямую и находим точку .
Точки и лежат в грани . Соединяем их: — сторона сечения.
Четырёхугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Сторона сечения — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Чтобы получить недостающие точки на рёбрах, продолжаем прямые сечения до пересечения с прямыми, лежащими в той же грани.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

Дана призма ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 1). Точка M принадлежит ребру AA₁, точка K…