Дана клетчатая доска 101 × 102… (вероятность и статистика)

Индексы клеток на доске, степень простого числа

Дана клетчатая доска $101 \times 102$ , размер каждой клетки $1 \times 1$ . Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше $2$ . Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Решение

Клетка Б лежит на расстоянии не больше от А, если смещение удовлетворяет условию . Это смещений, кроме нулевого: , , , , .

Индекс зависит от расстояния до границы доски по каждой оси: , или не меньше . Считаем допустимые смещения:

клетка в глубине доски: индекс ;
у края (на самой границе), далеко от угла: ;
во втором ряду от края, далеко от угла: ;
угловая клетка: ;
клетка рядом с углом на границе: ;
клетка по диагонали от угла (второй ряд и второй столбец): .

Произведение индексов — степень одного простого числа, значит, все индексы должны быть степенями одного и того же нечётного простого числа. Среди значений степенями простых являются ( клетки), ( клеток) и .

Больше всего клеток с индексом : это клетки второго ряда от края, не рядом с углом.

Вторая и предпоследняя строки (по клетки в строке нет: строка содержит клетку), без клеток у углов: .
Второй и предпоследний столбцы (в столбце клетки): .

Всего клеток, произведение индексов равно . Это больше, чем или клетки для простых и .

💡 Почему так

Все индексы должны быть степенями одного нечётного простого числа, а такими бывают только значения , и ; клеток с индексом больше всего.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Дана клетчатая доска 101 × 102, размер каждой клетки 1 × 1.…