Через точку C₁, K и ∥ B₁D. (Построить сечение… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой

Через точку $C_{1}$ , $K$ и $∥ B_{1} D$ . (Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ; $K$ — середина ребра $D D_{1}$ , на рисунке $D_{1} K = K D$ .)

Решение

Пусть — начало координат, , , . Тогда , , направление .

Точки и лежат в одной грани , соединяем их: — след секущей плоскости на этой грани.
Прямая пересекает прямую в точке , причём (так как — середина , ).
Плоскость сечения задаётся точкой и двумя направлениями: и . Её точки: .
Находим пересечение с верхней гранью (-координата равна ): получаем , а координаты вдоль и равны ( и ). Значит, след на верхней грани — диагональ (при получаем точку , при — точку ).
Значит, принадлежит сечению. Точки и лежат в одной грани , соединяем их.
Нижнюю грань и грани , плоскость сечения пересекает только в точках и , то есть других вершин у сечения нет.
Сечение — треугольник . Проверка: плоскость параллельна , так как лежит в этой плоскости как комбинация и : , , и … (), то есть .

💡 Почему так

Если плоскость параллельна прямой, то её направляющим вектором можно взять вектор этой прямой. Так находят точки пересечения плоскости с рёбрами и гранями и получают сечение.

Ответ

Сечение — треугольник , где — середина .

№ Сечение тетраэдра плоскостью, перпендикулярной основанию

Через $M N$ и $⊥ A B C$ . (Построить сечение тетраэдра $D A B C$ плоскостью, проходящей через $M N$ перпендикулярно плоскости $A B C$ ; $M$ — середина $A D$ , $N$ — середина $D B$ .)

Решение

— средняя линия треугольника , поэтому и .
Опускаем из перпендикуляр на плоскость ( — основание перпендикуляра).
В плоскости через проводим . Так как — середина , точка — середина . Аналогично в плоскости проводим ; — середина .
, значит, плоскость , содержащая , перпендикулярна плоскости . Она содержит , значит, это искомая плоскость.
— средняя линия треугольника , поэтому . Прямая — след плоскости сечения на основании.
Продолжаем до пересечения со сторонами и : получаем точки и ().
Соединяем: (грань ), (грань ), (грань ), (грань ).
Сечение — трапеция с основаниями .

💡 Почему так

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если содержит прямую, перпендикулярную ей. Поэтому через проводим прямую, параллельную перпендикуляру к .

Ответ

Сечение — трапеция , где , а , лежат на прямой, проходящей через середины отрезков и ( — основание перпендикуляра из на ).

Помогло?

Через точку C₁, K и ∥ B₁D. (Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁; K…